Колебательный интеграл - Oscillatory integral

В математический анализ ан колебательный интеграл это тип распределение. Осциллирующие интегралы содержат множество строгих аргументов, которые на наивном уровне, похоже, используют расходящиеся интегралы. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.

Определение

Колебательный интеграл ${\displaystyle f(x)}$ записывается формально как

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi }$

куда ${\displaystyle \phi (x,\xi )}$ и ${\displaystyle a(x,\xi )}$ являются функциями, определенными на ${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$ со следующими свойствами.

1) Функция ${\displaystyle \phi }$ реально ценится, положительный однородный степени 1 и бесконечно дифференцируемо вне ${\displaystyle \{\xi =0\}}$. Также мы предполагаем, что ${\displaystyle \phi }$ нет никаких критические точки на поддерживать из ${\displaystyle a}$. Такая функция, ${\displaystyle \phi }$ обычно называется фазовая функция. В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые все еще называются фазовыми функциями.

2) Функция ${\displaystyle a}$ принадлежит к одному из классы символов ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ для некоторых ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$. Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени ${\displaystyle m}$. Как и в случае с фазовой функцией ${\displaystyle \phi }$, в некоторых случаях функция ${\displaystyle a}$ относится к более общим или просто другим классам.

Когда ${\displaystyle m<-N}$ формальный интеграл, определяющий ${\displaystyle f(x)}$ сходится для всех ${\displaystyle x}$ и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения ${\displaystyle f(x)}$. Однако когда ${\displaystyle m\geq -N}$ колебательный интеграл по-прежнему определяется как распределение на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ даже если интеграл может не сходиться. В этом случае распределение ${\displaystyle f(x)}$ определяется с использованием того факта, что ${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ могут быть аппроксимированы функциями, имеющими экспоненциальный спад в ${\displaystyle \xi }$. Один из возможных способов сделать это - установить

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi }$

где предел взят в смысле умеренные распределения. Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел хорошо определен и что существует дифференциальный оператор ${\displaystyle L}$ так что полученное распределение ${\displaystyle f(x)}$ действуя на любом ${\displaystyle \psi }$ в Пространство Шварца дан кем-то

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L\left(a(x,\xi )\,\psi (x)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi }$

где этот интеграл абсолютно сходится. Оператор ${\displaystyle L}$ не определен однозначно, но может быть выбран таким образом, чтобы он зависел только от фазовой функции ${\displaystyle \phi }$, приказ ${\displaystyle m}$ символа ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle N}$. Фактически, учитывая любое целое число ${\displaystyle M}$ можно найти оператора ${\displaystyle L}$ так что подынтегральное выражение выше ограничено ${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$ за ${\displaystyle |\xi |}$ достаточно большой. Это основная цель определения классы символов.

Примеры

Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.

1) Теорема обращения Фурье означает, что дельта-функция, ${\displaystyle \delta (x)}$ равно

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссиана, мы получим хорошо известную последовательность функций, которые аппроксимируют дельта-функцию:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

Оператор ${\displaystyle L}$ в этом случае дается, например,

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}}}$

куда ${\displaystyle \Delta _{x}}$ это Лапласиан с уважением к ${\displaystyle x}$ переменные и ${\displaystyle k}$ любое целое число больше, чем ${\displaystyle (n-1)/2}$. Действительно, с этим ${\displaystyle L}$ у нас есть

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

и этот интеграл абсолютно сходится.

2) Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде колебательного интеграла. Действительно, если

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha }}$

куда ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$, то ядро ${\displaystyle L}$ дан кем-то

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

Связь с лагранжевыми распределениями

Любое лагранжево распределение можно локально представить осциллирующими интегралами (см. Хёрмандер (1983) ). Наоборот, любой осциллирующий интеграл является лагранжевым распределением. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.

Смотрите также

• Лемма Римана – Лебега.
• лемма ван дер Корпута

Рекомендации

• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными IV., Springer-Verlag, ISBN  0-387-13829-3
• Хёрмандер, Ларс (1971), "Интегральные операторы Фурье I", Acta Math., 127: 79–183, Дои:10.1007 / bf02392052