Лемма Ван дер Корпута (гармонический анализ) - Van der Corput lemma (harmonic analysis)

В математика, в области гармонический анализ, то лемма ван дер Корпута это оценка для колебательные интегралы названный в честь нидерландский язык математик J. G. van der Corput.

Следующий результат сформулирован Э. Штейн:^[1]

Предположим, что действительная функция ${\displaystyle \phi (x)}$ гладко в открытом интервале ${\displaystyle (a,b)}$, и это ${\displaystyle |\phi ^{(k)}(x)|\geq 1}$ для всех ${\displaystyle x\in (a,b)}$.Предположим, что либо ${\displaystyle k\geq 2}$, или это${\displaystyle k=1}$ и ${\displaystyle \phi '(x)}$ монотонно для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.Есть постоянная ${\displaystyle c_{k}}$, который не зависит от ${\displaystyle \phi }$, так что

${\displaystyle {\Big |}\int _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}{\Big |}\leq c_{k}\lambda ^{-1/k},}$

для любого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$.

Оценки множества подуровней

Лемма ван дер Корпута тесно связана с подуровневый набор оценки (см. например^[2]), что дает верхнюю оценку мера множества, где функция принимает значения не больше, чем ${\displaystyle \epsilon }$.

Предположим, что действительная функция ${\displaystyle \phi (x)}$ гладко на конечном или бесконечном интервале ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$, и это ${\displaystyle |\phi ^{(k)}(x)|\geq 1}$ для всех ${\displaystyle x\in I}$.Есть постоянная ${\displaystyle c_{k}}$, который не зависит от ${\displaystyle \phi }$, такое, что для любого ${\displaystyle \epsilon \geq 0}$мера подуровневого множества${\displaystyle \{x\in I:|\phi (x)|\leq \epsilon \}}$ограничен ${\displaystyle c_{k}\epsilon ^{1/k}}$.

Рекомендации

1. Элиас Штайн, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы. Издательство Принстонского университета, 1993. ISBN  0-691-03216-5
2. М. Христос, Преобразование Гильберта по кривым, Анна. математики. 122 (1985), 575--596