Разложение открытой книги - Open book decomposition

В математика, разложение открытой книги (или просто открытая книга) это разложение из закрыто ориентированный 3-х коллекторный M в союз поверхности (обязательно с границей) и полноторие. Открытые книги имеют отношение к контактная геометрия, с известной теоремой Эммануэль Жиру (приведено ниже), который показывает, что контактная геометрия может быть изучена с полностью топологической точки зрения.

Определение и конструкция

Определение. An разложение открытой книги трехмерного многообразия M пара (B, π) где

• B ориентированный связь в M, называется привязка открытой книги;
• π: M  B → S¹ это расслоение из дополнять из B такое, что для каждого θ ∈S¹, π⁻¹(θ) внутренность компактной поверхности Σ ⊂M чья граница B. Поверхность Σ называется страница открытой книги.

Это особый случай м = 3 разложения открытой книги м-мерное многообразие для любого м.

Когда Σ - ориентированная компактная поверхность с п граничные компоненты и φ: Σ → Σ является гомеоморфизм что является тождеством у границы, мы можем построить открытую книгу, сначала сформировав отображение тор Σ_φ. Поскольку φ тождество на ∂Σ, ∂Σ_φ - тривиальное расслоение окружностей над объединением окружностей, т. е. объединением торов; один тор для каждой граничной компоненты. Чтобы завершить строительство, полноторие склеены, чтобы заполнить граничные торы так, чтобы каждый круг S¹ × {п} ⊂ S¹×∂D² идентифицируется с границей страницы. В этом случае привязка представляет собой набор п ядра S¹× {q} из п полнотории, вклеенные в отображающий тор, для произвольно выбранных q ∈ D². Известно, что так можно построить любую открытую книгу. Поскольку единственная информация, используемая в конструкции, - это поверхность и гомеоморфизм, альтернативное определение открытой книги - это просто пара (Σ, φ) с понятной конструкцией. Короче говоря, открытая книга - это отображающий тор с полноториями, вклеенными так, что окружность сердцевины каждого тора проходит параллельно границе слоя.

Каждый тор в ∂Σ_φ расслоен кружками, параллельными переплету, каждый кружок является компонентом границы страницы. Предполагается Rolodex -просматривающая структура для окрестности привязки (т. е. полнотория, приклеенного к ∂Σ_φ) - страницы ролодекса соединяются со страницами открытой книги, а центр ролодекса является переплетом. Таким образом, термин открытая книга.

Это теорема 1972 года Эльмара Винкельнкемпера, что для м > 6, односвязный м-мерное многообразие имеет разложение открытой книги тогда и только тогда, когда оно имеет сигнатуру 0. В 1977 году Терри Лоусон доказал, что для нечетных м > 6, каждые м-мерное многообразие имеет разложение по открытой книге. Даже для м > 6, а м-мерное многообразие имеет разложение открытой книги тогда и только тогда, когда асимметричное Группа Витта препятствие равно 0, по теореме 1979 г. Фрэнк Куинн.

Переписка Жиру

В 2002 году Эммануэль Жиру опубликовал следующий результат:

Теорема. Позволять M - компактное ориентированное трехмерное многообразие. Тогда есть биекция между набором ориентированных контактные структуры на M вплоть до изотопия и множество разложений открытой книги M до положительной стабилизации.

Положительная стабилизация состоит из изменения страницы путем добавления 2-мерная 1 ручка и модифицируя монодромию, добавляя положительный Ден твист по кривой, которая ровно один раз пересекает эту ручку. В этой теореме подразумевается, что новая открытая книга определяет то же контактное 3-многообразие. Результат Жиру привел к некоторым прорывам в том, что все чаще называют контактная топология, например, классификация контактных структур на некоторых классах трехмерных многообразий. Грубо говоря, структура контактов соответствует открытой книге, если вдали от переплета распределение контактов изотопно касательным пространствам страниц через смешения. Можно представить, как сглаживают контактные плоскости (сохраняя условие контакта почти везде) так, чтобы они касались страниц.

Рекомендации

• Этнир, Джон Б. Лекции по декомпозиции открытой книги и контактным структурам, ArXiv
• Раницки, Андрей, Теория узлов высокой размерности, Springer (1998)
• Раницки, Андрей, Отображение тора автоморфизма многообразия, Онлайн-энциклопедия математики Springer