На оболочке и без оболочки - On shell and off shell

В физика, особенно в квантовая теория поля, конфигурации физической системы, удовлетворяющие классическим уравнения движения называются «на массовой оболочке» или просто чаще на оболочке; в то время как те, которые этого не делают, называются "вне массовой оболочки", или вне оболочки.

В квантовой теории поля виртуальные частицы называются вне оболочки, потому что они не удовлетворяют соотношение энергия-импульс; реальные обменные частицы удовлетворяют этому соотношению и называются на оболочке (массовой оболочке).^[1][2][3] В классическая механика например, в действие постановка, экстремальные решения вариационный принцип находятся на оболочке и Уравнения Эйлера – Лагранжа. дают уравнения на оболочке. Теорема Нётер относительно дифференцируемой симметрии физического действия и законы сохранения это еще одна теорема о оболочке.

Массовая оболочка

Точки на поверхности гиперболоида («оболочка») являются решениями уравнения.

Массовая оболочка - синоним массовый гиперболоид, имея в виду гиперболоид в энергия –импульс пространство, описывающее решения уравнения:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$,

в формула эквивалентности массы и энергии что дает энергию ${\displaystyle E}$ с точки зрения импульса ${\displaystyle {\vec {p}}}$ и масса покоя ${\displaystyle m_{0}}$ частицы. Уравнение для массовой оболочки также часто записывают в терминах четырехимпульсный; в Обозначения Эйнштейна с метрическая подпись (+, -, -, -) и единицы, где скорость света ${\displaystyle c=1}$, так как ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m^{2}}$. В литературе также можно встретить ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m^{2}}$ если используемая метрическая подпись (-, +, +, +).

Четыре импульса обмениваемой виртуальной частицы ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle q_{\mu }}$, с массой ${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$. Четыре импульса ${\displaystyle q_{\mu }}$ виртуальной частицы - это разница между четырьмя импульсами падающей и уходящей частицы.

Виртуальные частицы, соответствующие внутренним пропагаторы в Диаграмма Фейнмана как правило, разрешено находиться вне оболочки, но амплитуда процесса будет уменьшаться в зависимости от того, насколько они удалены от оболочки. Это потому, что ${\displaystyle q^{2}}$-зависимость пропагатора определяется четырьмя импульсами падающих и уходящих частиц. Пропагатор обычно имеет особенности на массовой оболочке.^[4]

Говоря о пропагаторе, отрицательные значения для ${\displaystyle E}$ которые удовлетворяют уравнению, считаются находящимися на оболочке, хотя классическая теория не допускает отрицательных значений энергии частицы. Это связано с тем, что пропагатор объединяет в одно выражение случаи, когда частица переносит энергию в одном направлении и когда ее античастица переносит энергию в обратном направлении; отрицательные и положительные на корпусе ${\displaystyle E}$ тогда просто изобразите противоположные потоки положительной энергии.

Скалярное поле

Пример приходит из рассмотрения скалярное поле в D-размерный Пространство Минковского. Рассмотрим Плотность лагранжиана данный ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$. В действие

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

Уравнение Эйлера-Лагранжа для этого действия можно найти следующим образом: изменение поля и его производной и установка нулевого значения, и является:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Теперь рассмотрим бесконечно малое пространство-время перевод ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$. Плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ является скаляром, и поэтому будет бесконечно малым образом преобразовываться при ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$ при бесконечно малом преобразовании. С другой стороны, по Расширение Тейлора, у нас в целом

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

Замена на ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$ и отмечая, что ${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$ (поскольку вариации независимы в каждой точке пространства-времени):

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Поскольку это справедливо для независимых переводов ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$, мы можем "разделить" на ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ и писать:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Это пример уравнения, которое выполняется вне оболочки, поскольку это верно для любой конфигурации поля, независимо от того, соблюдаются ли при этом уравнения движения (в данном случае уравнение Эйлера-Лагранжа, приведенное выше). Однако мы можем получить на оболочке уравнение, просто подставив уравнение Эйлера-Лагранжа:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Мы можем записать это как:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

И если мы определим количество в скобках как ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$, у нас есть:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Это пример теоремы Нётер. Здесь сохраняющаяся величина - это тензор энергии-импульса, которое сохраняется только на оболочке, т. е. при выполнении уравнений движения.

Рекомендации

1. Томсон, М. (2013). Современная физика элементарных частиц. Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107034266С. 117–119.
2. Качазо, Фредди (21 декабря 2012 г.). «Более глубокое погружение: на оболочке и вне ее». Институт теоретической физики Периметр.
3. Аркани-Хамед, Н. (21 декабря 2012 г.). «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан». arXiv:1212.5605 [hep-th ].
4. Томсон, М. (2013). Современная физика элементарных частиц. Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107034266, с.119.