Наблюдаемость - Observability

Относительно концепции квантовой механики см. наблюдаемый.

В теория управления, наблюдаемость является мерой того, насколько хорошо внутренние состояния система можно сделать вывод, зная о его внешних выходах. Наблюдаемость и управляемость линейной системы являются математическими двойники. Понятие наблюдаемости было введено венгерско-американским инженером. Рудольф Э. Кальман для линейных динамических систем.^[1][2] Динамическая система, предназначенная для оценки состояния системы по измерениям выходов, называется государственный наблюдатель или просто наблюдатель за этой системой.

Определение

Рассмотрим физическую систему, смоделированную в представление в пространстве состояний. Система называется наблюдаемый если для любой возможной эволюции векторы состояния и управления, текущее состояние можно оценить, используя только информацию с выходов (физически это обычно соответствует информации, полученной датчики ). Другими словами, можно определить поведение всей системы по ее выходным данным. С другой стороны, если система не является наблюдаемой, существуют траектории состояний, которые нельзя различить, измеряя только выходы.

Линейные стационарные системы

За инвариантные во времени линейные системы в представлении пространства состояний есть удобные тесты для проверки наблюдаемости системы. Рассмотрим SISO система с ${\displaystyle n}$ переменные состояния (см. пространство состояний для подробностей о MIMO системы), предоставленные

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

Матрица наблюдаемости

Если строка классифицировать из матрица наблюдаемости, определяется как

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

равно ${\displaystyle n}$, то система наблюдаема. Обоснование этого теста состоит в том, что если ${\displaystyle n}$ строки линейно независимы, то каждая из ${\displaystyle n}$ переменные состояния можно просматривать через линейные комбинации выходных переменных ${\displaystyle y}$.

Связанные понятия

Индекс наблюдаемости

В индекс наблюдаемости ${\displaystyle v}$ линейной постоянной дискретной системы - наименьшее натуральное число, для которого выполняется следующее: ${\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}}$, куда

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

Ненаблюдаемое подпространство

В ненаблюдаемое подпространство ${\displaystyle N}$ линейной системы является ядром линейного отображения ${\displaystyle G}$ данный^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\\\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$ - множество непрерывных функций из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ${\displaystyle N}$ также можно записать как ^[3]

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

Поскольку система наблюдаема тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathop {\mathrm {rank} } ({\mathcal {O}})=n}$, система наблюдаема тогда и только тогда, когда ${\displaystyle N}$ - нулевое подпространство.

Действительны следующие свойства ненаблюдаемого подпространства:^[3]

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup {\{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}}$

Обнаруживаемость

Немного более слабое понятие, чем наблюдаемость обнаруживаемость. Система обнаруживается, если все ненаблюдаемые состояния стабильны.^[4]

Условия обнаруживаемости важны в контексте сенсорные сети.^[5][6]

Нелинейные наблюдатели

скользящий режим и кубические наблюдатели^[7] может применяться для оценки состояния линейных систем, не зависящих от времени, если система наблюдаема и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

Линейные нестационарные системы

Рассмотрим непрерывный линейный временная система

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

Предположим, что матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ даны, а также входы и выходы ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle y}$ для всех ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$ тогда можно определить ${\displaystyle x(t_{0})}$ с точностью до аддитивного постоянного вектора, лежащего в пустое пространство из ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ определяется

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\phi (t,t_{0})dt}$

куда ${\displaystyle \phi }$ это матрица переходов между состояниями.

Можно определить уникальный ${\displaystyle x(t_{0})}$ если ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ является неособый. На самом деле выделить начальное состояние для ${\displaystyle x_{1}}$ от этого ${\displaystyle x_{2}}$ если ${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$ находится в нулевом пространстве ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$.

Обратите внимание, что матрица ${\displaystyle M}$ определенный, как указано выше, имеет следующие свойства:

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ является симметричный
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ является положительно полуопределенный за ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ удовлетворяет линейному матричное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ удовлетворяет уравнению

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\phi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\phi (t,t_{0})}$^[8]

Обобщение матрицы наблюдаемости

Система наблюдается в [${\displaystyle t_{0}}$,${\displaystyle t_{1}}$] тогда и только тогда, когда существует интервал [${\displaystyle t_{0}}$,${\displaystyle t_{1}}$] в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ такая, что матрица ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ неособое.

Если ${\displaystyle A(t),C(t)}$ аналитичны, то система наблюдаема в интервале [${\displaystyle t_{0}}$,${\displaystyle t_{1}}$] если существует ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$ и натуральное число k такое, что^[9]

${\displaystyle rank{\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&:&\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

куда ${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$ и ${\displaystyle N_{i}(t)}$ определяется рекурсивно как

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

Пример

Рассмотрим систему, аналитически изменяющуюся в ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ и матрицы

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

потом ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$ , а так как эта матрица имеет ранг = 3, система наблюдаема на любом нетривиальном интервале ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Нелинейные системы

Учитывая систему ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$, ${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$. Где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ вектор состояния, ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ входной вектор и ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$ выходной вектор. ${\displaystyle f,g,h}$ должны быть гладкими векторными полями.

Определите пространство наблюдения ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$ быть пространством, содержащим все повторяющиеся Производные Ли, то система наблюдаема в ${\displaystyle x_{0}}$ если и только если ${\displaystyle {\textrm {dim}}(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$.

Примечание: ${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\mathrm {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^[10]

Ранние критерии наблюдаемости в нелинейных динамических системах были открыты Гриффитом и Кумаром,^[11] Ку, Эллиот и Тарн,^[12] и Сингх.^[13]

Статические системы и общие топологические пространства

Наблюдаемость также может быть охарактеризована для стационарных систем (систем, обычно определяемых в терминах алгебраических уравнений и неравенств) или, в более общем смысле, для множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.^[14][15] Так же, как критерии наблюдаемости используются для прогнозирования поведения Фильтры Калмана или других наблюдателей в случае динамической системы, критерии наблюдаемости для множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ используются для прогнозирования поведения сверка данных и другие статические оценщики. В нелинейном случае наблюдаемость может быть охарактеризована для отдельных переменных, а также для поведения локальной оценки, а не только для глобального поведения.

Смотрите также

• Управляемость
• Идентифицируемость
• Государственный наблюдатель
• Пространство состояний (элементы управления)

Рекомендации

1. Калман Р. Э. "Об общей теории управляющих систем", Proc. 1-й Int. Конг. МФБ, Москва, 1960 1481, Баттерворт, Лондон, 1961.
2. Калман Р. Э., "Математическое описание линейных динамических систем", SIAM J. Contr. 1963 1 152
3. Зонтаг, E.D., "Математическая теория управления", Тексты по прикладной математике, 1998 г.
4. http://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf
5. Li, W .; Wei, G .; Ho, D. W. C .; Дин, Д. (ноябрь 2018 г.). «Взвешенно равномерная обнаруживаемость сенсорных сетей». Транзакции IEEE в нейронных сетях и обучающих системах. 29 (11): 5790–5796. Дои:10.1109 / TNNLS.2018.2817244. PMID  29993845. S2CID  51615852.
6. Li, W .; Wang, Z .; Ho, D. W. C .; Вэй, Г. (2019). "Об ограниченности ковариаций ошибок для задач фильтрации консенсуса Калмана". IEEE Transactions по автоматическому контролю. 65 (6): 2654–2661. Дои:10.1109 / TAC.2019.2942826. S2CID  204196474.
7. Пасанд, Мохаммад Махди Поделиться (2020). «Кубические наблюдатели типа Люенбергера для оценки состояния линейных систем». Международный журнал адаптивного управления и обработки сигналов. н / д (н / д): 1148–1161. arXiv:1909.11978. Дои:10.1002 / acs.3125. ISSN  1099-1115. S2CID  202888832.
8. Брокетт, Роджер В. (1970). Конечномерные линейные системы. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-10585-5.
9. Эдуардо Д. Зонтаг, Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы.
10. Конспект лекций по теории нелинейных систем проф. доктор Д. Ельцема, проф. Дж. М. А. Шерпен и проф. A.J. van der Schaft.
11. Гриффит Э. У. и Кумар К. С. П., "О наблюдаемости нелинейных систем I, J. Math. Anal. Appl. 197135 135
12. Коу С. Р., Эллиотт Д. Л. и Тарн Т. Дж., Inf. Contr. 1973 22 89
13. Сингх С.Н., "Наблюдаемость в нелинейных системах с неизмеримыми входами", Int. J. Syst. Sci., 6 723, 1975
14. Стэнли Г. и Mah, R.S.H., "Наблюдаемость и избыточность в оценке данных процесса, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981)"
15. Стэнли Г.М. и Mah R.S.H., «Классификация наблюдаемости и избыточности в технологических сетях», Chem. Engng. Sci. 36 января 1941 (1981)

внешняя ссылка

• «Наблюдаемость». PlanetMath.
• Функция MATLAB для проверки наблюдаемости системы
• Функция Mathematica для проверки наблюдаемости системы