Нелинейная реализация - Nonlinear realization

В математической физике нелинейная реализация из Группа Ли грамм обладающий Подгруппа Картана ЧАС особый индуцированное представление из грамм. Фактически, это представление Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из грамм в окрестности своего происхождения. Нелинейная реализация, ограниченная на подгруппу ЧАС сводится к линейному представлению.

Техника нелинейной реализации - неотъемлемая часть многих теории поля с спонтанное нарушение симметрии, например, хиральные модели, нарушение киральной симметрии, Бозон Голдстоуна теория классическая теория поля Хиггса, калибровочная теория гравитации и супергравитация.

Позволять грамм группа Ли и ЧАС его подгруппа Картана, допускающая линейное представление в векторном пространстве V. Лиалгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из грамм делится на сумму ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {f}}}$ из Подалгебра Картана ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ из ЧАС и его дополнение ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ , так что

{ displaystyle [{ mathfrak {f}}, { mathfrak {f}}] subset { mathfrak {h}}, qquad [{ mathfrak {f}}, { mathfrak {h}}] подмножество { mathfrak {f}}.}

(В физике, например, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ составляют векторные генераторы и ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ к осевым.)

Есть открытый район U подразделения грамм такой, что любой элемент ${ displaystyle g in U}$ однозначно приводится в форму

{ displaystyle g = exp (F) exp (I), qquad F in { mathfrak {f}}, qquad I in { mathfrak {h}}.}

Позволять ${ displaystyle U_ {G}}$ - открытая окрестность единицы грамм такой, что ${ Displaystyle U_ {G} ^ {2} subset U}$ , и разреши ${ displaystyle U_ {0}}$ быть открытым соседствомЧАС-инвариантный центр ${ displaystyle sigma _ {0}}$ частного Г / ч который состоит из элементов

{ displaystyle sigma = g sigma _ {0} = exp (F) sigma _ {0}, qquad g in U_ {G}.}

Тогда есть местный раздел ${ Displaystyle s (г sigma _ {0}) = ехр (F)}$ из ${ Displaystyle G в G / H}$ над ${ displaystyle U_ {0}}$ .

С помощью этого локального раздела можно определить индуцированное представление, называется нелинейная реализация, элементов ${ displaystyle g в U_ {G} subset G}$ на ${ displaystyle U_ {0} times V}$ дано выражениями

{ displaystyle g exp (F) = exp (F ') exp (I'), qquad g: ( exp (F) sigma _ {0}, v) to ( exp (F ' ) sigma _ {0}, exp (I ') v).}

Соответствующая нелинейная реализация алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из грамм принимает следующий вид.

Позволять ${ displaystyle {F _ { alpha} }}$ , ${ displaystyle {I_ {a} }}$ быть основой для ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ соответственно вместе с коммутационными соотношениями

{ displaystyle [I_ {a}, I_ {b}] = c_ {ab} ^ {d} I_ {d}, qquad [F _ { alpha}, F _ { beta}] = c _ { alpha beta } ^ {d} I_ {d}, qquad [F _ { alpha}, I_ {b}] = c _ { alpha b} ^ { beta} F _ { beta}.}

Тогда желаемая нелинейная реализация ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в ${ Displaystyle { mathfrak {f}} раз V}$ читает

{ displaystyle F _ { alpha}: ( sigma ^ { gamma} F _ { gamma}, v) to (F _ { alpha} ( sigma ^ { gamma}) F _ { gamma}, F_ { alpha} (v)), qquad I_ {a}: ( sigma ^ { gamma} F _ { gamma}, v) to (I_ {a} ( sigma ^ { gamma}) F _ { гамма}, I_ {a} v),}

,

{ displaystyle F _ { alpha} ( sigma ^ { gamma}) = delta _ { alpha} ^ { gamma} + { frac {1} {12}} (c _ { alpha mu} ^ { beta} c _ { beta nu} ^ { gamma} -3c _ { alpha mu} ^ {b} c _ { nu b} ^ { gamma}) sigma ^ { mu} sigma ^ { nu}, qquad I_ {a} ( sigma ^ { gamma}) = c_ {a nu} ^ { gamma} sigma ^ { nu},}

до второго порядка в ${ displaystyle sigma ^ { alpha}}$ .

В физических моделях коэффициенты ${ displaystyle sigma ^ { alpha}}$ рассматриваются как Поля Голдстоуна. Аналогичным образом нелинейные реализации Супералгебры Ли считаются.

Нелинейная реализация - Nonlinear realization

Смотрите также

Рекомендации