N-щелевое интерферометрическое уравнение - N-slit interferometric equation

Квантовая механика был впервые применен к оптика, и вмешательство в частности, Поль Дирак.^[1] Ричард Фейнман, в его Лекции по физике, использует обозначения Дирака для описания мысленные эксперименты на двухщелевая интерференция из электроны.^[2] Подход Фейнмана был распространен на N-щелевые интерферометры как для однофотонного освещения, так и для узко-ширина линии лазер освещение, то есть освещение неразличимым фотоны, к Франк Дуарте.^[3][4] В N-щелевой интерферометр впервые был применен при создании и измерении сложных картины интерференции.^[3][4]

В этой статье обобщенные NОписано интерферометрическое уравнение, полученное через обозначения Дирака. Хотя изначально был создан для воспроизведения и предсказания N-щелевые интерферограммы,^[3][4] это уравнение также имеет приложения к другим областям оптики.

Амплитуды вероятностей и N-щелевое интерферометрическое уравнение

Схемы вида сверху N-щелевой интерферометр с указанием положения самолетов s, j, и Икс. В N-щелевой массив, или решётка, располагается в j. Внутриинтерферометрическое расстояние может составлять несколько сотен метров. TBE - телескопический расширитель луча, MPBE - многопризменный расширитель луча.

В этом подходе амплитуда вероятности распространения фотона от источника s в плоскость интерференции Икс, через массив щелей j, задается с помощью дираковского обозначение бюстгальтера в качестве^[3]

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\langle x|j\rangle \langle j|s\rangle }$

Это уравнение представляет собой амплитуду вероятности распространения фотона из s к Икс через массив j прорези. Используя представление волновой функции для амплитуд вероятности,^[1] и определяя амплитуды вероятностей как^[3][4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j|s\rangle &=\Psi \left(r_{j,s}\right)e^{-i\theta _{j}}\\\langle x|j\rangle &=\Psi \left(r_{x,j}\right)e^{-i\phi _{j}}\end{aligned}}}$

куда θ_j и Φ_j - фазовые углы падения и дифракции соответственно. Таким образом, общую амплитуду вероятности можно переписать как

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)e^{-i\Omega _{j}}}$

куда

${\displaystyle \Psi \left(r_{j}\right)=\Psi \left(r_{x,j}\right)\Psi \left(r_{j,s}\right)}$

и

${\displaystyle \Omega _{j}=\theta _{j}+\phi _{j}}$

после некоторой алгебры соответствующая вероятность становится^[3][4][5]

${\displaystyle {\big |}\langle x|s\rangle {\big |}^{2}=\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)^{2}+2\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)\left(\sum _{m=j+1}^{N}\Psi \left(r_{m}\right)\cos \left(\Omega _{m}-\Omega _{j}\right)\right)}$

куда N - общее количество щелей в решетке или решетке пропускания, а термин в скобках представляет фазу, которая напрямую связана с точными разностями хода, полученными из геометрии N-щелевой массив (j), внутриинтерферометрическое расстояние и интерферометрическая плоскость Икс.^[5] В простейшем варианте фазовый член можно связать с геометрией, используя

${\displaystyle \cos(\Omega _{m}-\Omega _{j})=\cos k|L_{m}-L_{m-1}|}$

куда k это волновое число, и L_м и L_{м − 1} представляют точную разницу в пути. Здесь Дирак –Дуарте (ДД) интерферометрическое уравнение представляет собой распределение вероятностей, которое связано с распределением интенсивности, измеренным экспериментально.^[6] Расчеты производятся численно.^[5]

Интерферометрическое уравнение DD применяется к распространению одиночного фотона или к распространению ансамбля неразличимых фотонов и позволяет точно предсказывать измеренные значения. N-постоянные интерферометрические диаграммы от ближнего к дальнему полю.^[5][6] Было показано, что интерферограммы, полученные с помощью этого уравнения, хорошо сравниваются с измеренными интерферограммами для обоих даже (N = 2, 4, 6...) и нечетное (N = 3, 5, 7...) значения N от 2 до 16:00.^[5][7]

Приложения

На практическом уровне N-щелевое интерферометрическое уравнение было введено для приложений обработки изображений^[5] и обычно применяется для прогнозирования N-щелевые лазерные интерферограммы как в ближнем, так и в дальнем поле. Таким образом, он стал ценным инструментом в выравнивании больших и очень больших, N-щелевые лазерные интерферометры^[8][9] используется при изучении турбулентности ясного неба и распространения интерферометрические символы за безопасная лазерная связь в космосе. Другие аналитические приложения описаны ниже.

Интерферограмма для N = 3 щели с дифракционной картиной наложены на правое внешнее крыло.^[9]

Обобщенная дифракция и преломление

В N-щелевое интерферометрическое уравнение применялось для описания классических явлений, таких как вмешательство, дифракция, преломление (Закон Снеллиуса ), и отражение, в рациональном и едином подходе с использованием принципов квантовой механики.^[7][10] В частности, этот интерферометрический подход был использован для вывода обобщенных уравнений рефракции как для положительных, так и для отрицательная рефракция,^[11] таким образом обеспечивая четкую связь между теорией дифракции и обобщенным рефракцией.^[11]

Из фазового члена интерферометрического уравнения выражение

${\displaystyle d_{m}\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)=M\pi }$

можно получить, где M = 0, 2, 4....

За п₁ = п₂, это уравнение можно записать как^[7][10]

${\displaystyle d_{m}\left(\pm \sin {\theta _{m}}\pm \sin {\phi _{m}}\right)=m\lambda }$

что является обобщенной дифракцией уравнение решетки. Здесь, θ_м угол падения, φ_м - угол дифракции, λ - длина волны, а м = 0, 1, 2... - порядок дифракции.

При определенных условиях d_м ≪ λ, который легко получить экспериментально, фазовый член принимает вид^[7][10]

${\displaystyle \left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)=0}$

которое является обобщенным уравнением рефракции,^[11] куда θ_м угол падения, а φ_м теперь становится углом преломления.

Уравнение ширины линии резонатора

Кроме того, N-щелевое интерферометрическое уравнение было применено, чтобы получить уравнение ширины линии резонатора применим к дисперсионным осцилляторам, таким как лазерные генераторы с несколькими призматическими решетками:^[12]

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\frac {\partial \Theta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}}$

В этом уравнении Δθ - расходимость пучка, а общая угловая дисперсия внутри резонатора - величина в скобках.

Визуализация с преобразованием Фурье

Исследователи, работающие над визуализацией фантомных изображений с преобразованием Фурье, считают N-щелевое интерферометрическое уравнение^[3][5][10] как путь к исследованию квантовой природы призрачных изображений.^[13] Так же N-Щелевая интерферометрия - один из нескольких подходов, применяемых для связного и унифицированного описания основных оптических явлений.^[14]

Примечание: учитывая различные используемые термины, для N-щелевая интерферометрия, следует четко указать, что N-щелевое интерферометрическое уравнение применяется к двухщелевой интерференции, трехщелевой интерференции, четырехщелевой интерференции и т. д.

Квантовая запутанность

Принципы Дирака и вероятностная методология, использованные для вывода N-щелевое интерферометрическое уравнение также использовалось для вывода поляризационного квантовая запутанность амплитуда вероятности^[15]

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|x\right\rangle _{1}\left|y\right\rangle _{2}-\left|y\right\rangle _{1}\left|x\right\rangle _{2}{\bigr )}}$

и соответствующие амплитуды вероятности, изображающие распространение множества пар квантов.^[16]

Сравнение с классическими методами

Сравнение подхода Дирака с классическими методами при выполнении интерферометрических расчетов было выполнено Трэвис С. Тейлор и другие.^[17] Эти авторы пришли к выводу, что интерферометрическое уравнение, полученное с помощью формализма Дирака, имеет преимущество в очень ближней области.

Некоторые различия между интерферометрическим уравнением DD и классическими формализмами можно резюмировать следующим образом:

• Классический подход Френеля используется для приложений ближнего поля, а классический подход Фраунгофера - для приложений дальнего поля. Такое разделение не требуется при использовании DD-интерферометрического подхода, поскольку этот формализм применим как к ближнему, так и к дальнему полю.^[5]
• Подход Фраунгофера работает для плоско-волнового освещения.^[18] Подход DD работает как для освещения плоскими волнами, так и для схем освещения с высокой дифракцией.^[5]
• Интерферометрическое уравнение DD носит статистический характер. Это не относится к классическим формулировкам.

Пока не опубликовано сравнение с более общими классическими подходами, основанными на Принцип Гюйгенса – Френеля или же Формула дифракции Кирхгофа.

Смотрите также

• Расширитель луча
• Обозначения Дирака
• Дифракция Фраунгофера (математика)
• Оптическая связь в свободном пространстве
• Уравнение решетки
• Лазерная связь в космосе
• Ширина лазерной линии
• Теория дисперсии множественных призм
• N-щелевой интерферометр

Рекомендации

1. Дирак, П.А. (1978). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Лондон: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-851208-0.^{[страница нужна ]}
2. Фейнман, Р. П.; Leighton, R. B .; Сэндс, М. (1965). Лекции Фейнмана по физике. III. Чтение: Эддисон Уэсли.^{[страница нужна ]}
3. Дуарте, Ф. Дж.; Пейн, Д. Дж. (1989). Sze, R.C .; Дуарте, Ф. Дж. (Ред.). "Квантово-механическое описание N-щелевые интерференционные явления ». Лазеры '88; Материалы Международной конференции. Маклин, Вирджиния: СТС: 42–47. Bibcode:1989lase.conf ... 42D.
4. Дуарте, Ф. Дж. (1991). «Глава 2. Дисперсные лазеры на красителях». В Дуарте, Ф. Дж. (Ред.). Лазеры на красителях высокой мощности. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-54066-3.
5. Дуарте, Ф. Дж. (1993). «Об обобщенном интерференционном уравнении и интерферометрических измерениях». Опт. Сообщество. 103 (1–2): 8–14. Bibcode:1993OptCo.103 .... 8D. Дои:10.1016 / 0030-4018 (93) 90634-Н.
6. Дуарте, Ф. Дж. (2004). Комментарий к статье «Отражение, преломление и помехи от нескольких щелей»'". Евро. J. Phys. 25 (5): L57 – L58. Bibcode:2004EJPh ... 25L..57D. Дои:10.1088 / 0143-0807 / 25/5 / L04.
7. Дуарте, Ф. Дж. (2015). Настраиваемая лазерная оптика (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: CRC. ISBN  978-1-4822-4529-5.^{[страница нужна ]}
8. Duarte, F.J .; Тейлор, Т. С .; Clark, A.B .; Давенпорт, В. Э. (2010). "The N-щелевой интерферометр: расширенная конфигурация ». J. Opt. 12 (1): 015705. Bibcode:2010JOpt ... 12a5705D. Дои:10.1088/2040-8978/12/1/015705.
9. Duarte, F.J .; Тейлор, Т. С .; Black, A. M .; Davenport, W. E .; Вармет, П. Г. (2011). "N- щелевой интерферометр для защищенной оптической связи в свободном пространстве: длина внутриинтерферометрического пути 527 м ». J. Opt. 13 (3): 035710. Bibcode:2011JOpt ... 13c5710D. Дои:10.1088/2040-8978/13/3/035710.
10. Дуарте, Ф. Дж. (1997). «Интерференция, дифракция и преломление через обозначения Дирака». Являюсь. J. Phys. 65 (7): 637–640. Bibcode:1997AmJPh..65..637D. Дои:10.1119/1.18613.
11. Дуарте, Ф. Дж. (2006). «Многопризменные дисперсионные уравнения для положительной и отрицательной рефракции». Appl. Phys. B. 82 (1): 35–38. Bibcode:2006АпФБ..82 ... 35Д. Дои:10.1007 / s00340-005-1996-х. S2CID  120462686.
12. Дуарте, Ф. Дж. (1992). «Уравнение дисперсии резонатора: примечание о его происхождении». Appl. Opt. 31 (33): 6979–6982. Bibcode:1992ApOpt..31.6979D. Дои:10.1364 / AO.31.006979. PMID  20802556.
13. Liu, H .; Шен, X .; Zhu, D.-M .; Хан, С. (2007). «Призрачное изображение с преобразованием Фурье с чистым коррелированным тепловым светом в дальней зоне». Phys. Ред. А. 76 (5): 053808. Bibcode:2007PhRvA..76e3808L. Дои:10.1103 / PhysRevA.76.053808.
14. Курусингал, Дж. (2007). «Закон нормального рассеяния - всеобъемлющий закон распространения волн на границе раздела». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 24 (1): 98–108. Bibcode:2007JOSAA..24 ... 98K. Дои:10.1364 / JOSAA.24.000098. PMID  17164848.
15. Дуарте, Ф. Дж. (2014). Квантовая оптика для инженеров. Нью-Йорк: CRC. ISBN  978-1-4398-8853-7. OCLC  871400712.
16. Дуарте, Ф. Дж. (2016). «Безопасная интерферометрическая связь космос-космос и ее связь с физикой квантовой запутанности». Appl. Phys. Rev. 3 (4): 041301. Bibcode:2016АпПРв ... 3d1301D. Дои:10.1063/1.4966139.
17. Тейлор, Т. С .; и другие. (1996). «Сравнение расчетов Фурье и Дирака для классической оптики». Материалы Международной конференции по лазерам-95. Маклин, Вирджиния: СТС. С. 487–492.
18. Фаулз, Г. Р. (1968). Введение в современную оптику. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.^{[страница нужна ]}