Формула дифракции Кирхгофа - Kirchhoffs diffraction formula

Кирхгоф формула дифракции^[1][2] (также Формула дифракции Френеля – Кирхгофа) можно использовать для моделирования распространение света в широком диапазоне конфигураций, либо аналитически или используя численное моделирование. Это дает выражение для волнового возмущения, когда монохромный сферическая волна проходит через отверстие в непрозрачный экран. Уравнение получено путем нескольких приближений к Интегральная теорема Кирхгофа который использует Теорема Грина вывести решение однородного волновое уравнение.

Вывод дифракционной формулы Кирхгофа.

Интегральная теорема Кирхгофа, иногда называемую интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа,^[3] использует Личность Грина вывести решение однородного волновое уравнение в произвольной точке п через значения решения волнового уравнения и его производной первого порядка во всех точках произвольной поверхности, охватывающей п.

Решение, которое дает интегральная теорема для монохромный источник:

${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right]dS,}$

куда U это комплексная амплитуда возмущения на поверхности, k это волновое число, и s это расстояние от п на поверхность.

Сделаны следующие предположения:

• U и ∂U/∂п прерывистые на границах проема,
• расстояние до точечного источника и размер проема S много больше λ.

Точечный источник

Геометрическая схема, использованная при выводе формулы дифракции Кирхгофа

Рассмотрим монохроматический точечный источник в точке п₀, который освещает отверстие в экране. Энергия волны, излучаемой точечным источником, спадает пропорционально квадрату пройденного расстояния, поэтому амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию. Комплексная амплитуда возмущения на расстоянии р дан кем-то

${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$

куда а представляет величина возмущения в точечном источнике.

Нарушение в точке п можно найти, применив интегральную теорему к замкнутой поверхности, образованной пересечением сферы радиуса р с экраном. Интеграция проводится по областям А₁, А₂ и А₃, давая

${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)\right]dS.}$

Для решения уравнения предполагается, что значения U и ∂U/∂п в области А₁ такие же, как и при отсутствии экрана, при Q:

${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$

куда р это длина п₀Q, и (п, р) - угол между п₀Q и нормаль к апертуре.

Кирхгоф предполагает, что значения U и ∂U/∂п в А₂ равны нулю. Отсюда следует, что U и ∂U/∂п прерывистые на краю апертуры. Это не так, и это одно из приближений, используемых при выводе уравнения.^[4][5] Эти предположения иногда называют граничными условиями Кирхгофа.

Вклад от А₃ к интегралу также предполагается равным нулю. Это можно оправдать, сделав предположение, что источник начинает излучать в определенное время, а затем сделав р достаточно большой, чтобы при нарушении п рассматривается, вкладов от А₃ приедет туда.^[1] Такой волны больше нет монохромный, поскольку монохроматическая волна должна существовать всегда, но в этом предположении нет необходимости, и был получен более формальный аргумент, позволяющий избежать ее использования.^[6]

У нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$

куда (п, s) - угол между нормалью к апертуре и PQ. Обратите внимание, что в этом выводе (п, s)> π / 2 и cos (п, s) отрицательный.

Наконец, члены 1 /р и 1 /s считаются незначительными по сравнению с k, поскольку р и s обычно намного больше 2π /k, что равно длина волны. Таким образом, интеграл выше, который представляет комплексную амплитуду при п, становится

${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]\,d{A_{1}}.}$

Это формула дифракции Кирхгофа или Френеля – Кирхгофа.

Эквивалентность уравнению Гюйгенса – Френеля.

Геометрическое расположение, используемое для выражения формулы Кирхгофа в форме, подобной форме Гюйгенса – Френеля.

В Принцип Гюйгенса – Френеля можно получить интегрированием по другой замкнутой поверхности. Площадь А₁ выше заменяется волновым фронтом из п₀, который почти заполняет отверстие, и участок конуса с вершиной при п₀, который помечен А₄ на диаграмме. Если радиус кривизны волны достаточно велик, вклад от А₄ можно пренебречь. У нас также есть

${\displaystyle \chi =\pi -(r_{0},s),}$

где χ определено в Принцип Гюйгенса – Френеля, а cos (п, р) = 1. Комплексная амплитуда волнового фронта при р₀ дан кем-то

${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

Формула дифракции принимает вид

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )\,dS.}$

Это дифракционная формула Кирхгофа, которая содержит параметры, которые должны быть произвольно заданы при выводе Гюйгенс – Френель уравнение.

Расширенный источник

Предположим, что отверстие освещено протяженной волной источника.^[7] Комплексная амплитуда на апертуре определяется выражением U₀(р).

По-прежнему предполагается, что значения U и ∂U/∂п в области А₁ такие же, как и при отсутствии экрана, значения U и ∂U/∂n в А₂ равны нулю (граничные условия Кирхгофа) и что вклад А₃ к интегралу также равны нулю. Также предполагается, что 1 /s незначительно по сравнению с k. Тогда у нас есть

${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$

Это наиболее общая форма дифракционной формулы Кирхгофа. Чтобы решить это уравнение для расширенного источника, потребуется дополнительное интегрирование, чтобы суммировать вклады отдельных точек в источнике. Однако если мы предположим, что свет от источника в каждой точке апертуры имеет четко определенное направление, что имеет место, если расстояние между источником и апертурой значительно больше, чем длина волны, то мы можем написать

${\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},}$

куда а(р) - величина возмущения в точке р в проеме. Тогда у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)\cos(n,r)}$

и поэтому

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$

Уравнения дифракции Фраунгофера и Френеля

Несмотря на различные приближения, которые были сделаны при выводе формулы, ее достаточно для описания большинства задач инструментальной оптики. Это происходит главным образом потому, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся препятствий. Аналитические решения невозможны для большинства конфигураций, но Дифракция Френеля уравнение и Фраунгофера дифракция уравнения, которые являются приближениями формулы Кирхгофа для ближнее поле и дальнее поле, может применяться в очень широком спектре оптических систем.

Одно из важных предположений, сделанных при выводе формулы дифракции Кирхгофа, состоит в том, что р и s значительно больше λ. Можно сделать другое приближение, которое еще больше упрощает уравнение: это то, что расстояния п₀Q и QP намного больше размеров проема. Это позволяет сделать еще два приближения:

• cos (п, г) - cos (п, с) заменяется на 2cos β, где β - угол между п₀п и нормаль к апертуре. Фактор 1 /RS заменяется на 1 /р's', куда р' и s' расстояния от п₀ и п в начало координат, которое находится в апертуре. Тогда комплексная амплитуда становится:

${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$

• Предположим, что апертура находится в ху плоскости, а координаты п₀, п и Q (общая точка в апертуре) равны (Икс₀, у₀, z₀), (Икс, у, z) и (Икс', у', 0) соответственно. Тогда у нас есть:

${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},}$

${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},}$

${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Мы можем выразить р и s следующее:

${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},}$

${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}$

Их можно расширить до степенных рядов:

${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}[2(x_{0}x'+y_{0}y')+(x'^{2}+y'^{2})]+{\frac {1}{2r'^{2}}}[2(x_{0}x'+y_{0}y')+(x'^{2}+y'^{2})]^{2}+\cdots \right],}$

${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}[2(xx'+yy')+(x'^{2}+y'^{2})]+{\frac {1}{2s'^{2}}}[2(xx'+yy')+(x'^{2}+y'^{2})]^{2}+\cdots \right].}$

Комплексная амплитуда при п теперь можно выразить как

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$

куда ж(Икс', у') включает в себя все термины в приведенных выше выражениях для s и р кроме первого члена в каждом выражении и может быть записан в виде

${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}$

где c_я являются константами.

Фраунгофера дифракция

Основная статья: Фраунгофера дифракция

Если все условия в ж(Икс', у') можно пренебречь, за исключением слагаемых в Икс' и у', у нас есть Фраунгофера дифракция уравнение. Если направляющие косинусы п₀Q и PQ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$

Тогда уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид

${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$

куда C является константой. Это также можно записать в виде

${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$

куда k₀ и k являются волновые векторы волн, идущих из п₀ к апертуре и от апертуры к п соответственно, и р' точка в апертуре.

Если точечный источник заменить протяженным источником, комплексная амплитуда которого на апертуре равна U₀(р' ), то Фраунгофера дифракция уравнение:

${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$

куда а₀(р'), как и раньше, - величина возмущения на апертуре.

Помимо приближений, сделанных при выводе уравнения Кирхгофа, предполагается, что

• р и s значительно больше размера апертуры,
• члены второго и более высокого порядка в выражении ж(Икс', у') можно пренебречь.

Дифракция Френеля

Основная статья: Дифракция Френеля

Когда квадратичными членами нельзя пренебречь, но можно всеми членами более высокого порядка, уравнение становится Дифракция Френеля уравнение. Используются приближения для уравнения Кирхгофа и дополнительные предположения:

• р и s значительно больше размера апертуры,
• члены третьего и более высокого порядка в выражении ж(Икс', у') можно пренебречь.

Рекомендации

1. Родился, Макс; Вольф, Эмиль (1999). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 986. ISBN  9780521642224.
2. Лонгхерст, Ричард Сэмюэл (1986). Геометрическая и физическая оптика. Orient BlackSwan. п. 651. ISBN  8125016236.
3. Кирхгоф, Г. (1883). "Zur Theorie der Lichtstrahlen". Annalen der Physik (на немецком). Вайли. 254 (4): 663–695. Bibcode:1882АнП ... 254..663К. Дои:10.1002 / andp.18832540409.
4. J.Z. Бухвальд и К.-П. Янг, "Теория Кирхгофа для оптической дифракции, ее предшественник и последующее развитие: устойчивость противоречивой теории", Архив истории точных наук, т. 70, нет. 5 (сентябрь 2016 г.), стр. 463–511; Дои:10.1007 / s00407-016-0176-1.
5. Дж. Саатси и П. Викерс, "Чудесный успех? Несогласованность и неправда в теории дифракции Кирхгофа", Британский J. по философии науки, т. 62, нет. 1 (март 2011 г.), стр. 29–46; jstor.org/stable/41241806. (Предварительная версия, с другой нумерацией страниц: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf.)
6. М. Борн, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie. Берлин, Springer, 1933, переиздано в 1965 году, стр. 149.
7. М. В. Кляйн и Т. Э. Фуртак, 1986, Оптика; 2-е изд. John Wiley & Sons, Нью-Йорк ISBN  0-471-87297-0.

дальнейшее чтение

• Baker, B.B .; Копсон, Э. (1939, 1950). Математическая теория принципа Гюйгенса. Оксфорд.
• Воан, Грэм (2000). Кембриджский справочник по физическим формулам. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521575072.
• Дж. Гудман (2005). Введение в фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Co Publishers. ISBN  978-0-9747077-2-3.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику. Pearson Education, Limited. ISBN  978-0-321-85656-2.
• Группа, Иегуда Б. (2006). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-89931-0.
• Кеньон, Ян (2008). Световой фантаст: современное введение в классическую и квантовую оптику. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-856646-5.
• Лернер, Рита Г .; Джордж Л., Тригг (1991). Энциклопедия физики. ВЧ. ISBN  978-0-89573-752-6.
• Сибил П., Паркер (1993). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла. McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN  978-0-07-051400-3.