Интегральная теорема Кирхгофа - Kirchhoff integral theorem

Кирхгоф интегральная теорема (иногда называемая интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа)^[1] использует Личность Грина вывести решение однородного волновое уравнение в произвольной точке п через значения решения волнового уравнения и его производной первого порядка во всех точках произвольной поверхности, охватывающей п.^[2]

Уравнение

Монохроматические волны

Интеграл имеет следующий вид для монохромный волна:^[2]^[3]

{ Displaystyle U ( mathbf {r}) = { frac {1} {4 pi}} int _ {S} left [U { frac { partial} { partial { hat { mathbf {n}}}}} left ({ frac {e ^ {iks}} {s}} right) - { frac {e ^ {iks}} {s}} { frac { partial U} { partial { hat { mathbf {n}}}}} right] dS,}

где интегрирование ведется по произвольной закрытая поверхность S (включая р), s расстояние от элемента поверхности до точки р, и ∂ / ∂п обозначает дифференцирование по нормали к поверхности (a нормальная производная ). Обратите внимание, что в этом уравнении нормаль указывает внутрь замкнутого объема; если более обычный внешняя нормаль , интеграл будет иметь обратный знак.

Немонохроматические волны

Для немонохроматических волн можно вывести более общий вид. В комплексная амплитуда волны можно представить интегралом Фурье вида

{ displaystyle V (r, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int U _ { omega} (r) e ^ {- я omega t} , d omega ,}

Посредством чего Обращение Фурье, у нас есть

{ displaystyle U _ { omega} (r) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int V (r, t) e ^ {i omega t} , dt.}

Интегральная теорема (см. Выше) применяется к каждой компоненте Фурье ${ displaystyle U _ { omega}}$ , и получается следующее выражение:^[2]

{ displaystyle V (r, t) = { frac {1} {4 pi}} int _ {S} left {[V] { frac { partial} { partial n}} left ({ frac {1} {s}} right) - { frac {1} {cs}} { frac { partial s} { partial n}} left [{ frac { partial V} { partial t}} right] - { frac {1} {s}} left [{ frac { partial V} { partial n}} right] right } dS,}

где квадратные скобки на V термины обозначают запаздывающие значения, т.е. значения во время т − s/c.

Кирхгоф показал, что приведенное выше уравнение во многих случаях можно аппроксимировать к более простой форме, известной как Кирхгоф, или формула дифракции Френеля – Кирхгофа, что эквивалентно Уравнение Гюйгенса – Френеля, но дает формулу для коэффициента наклона, который в последнем не определен. Дифракционный интеграл может применяться к широкому кругу задач оптики.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN 978-0-521-57507-2.
Введение в электродинамику (3-е издание), Д.Дж. Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN 81-7758-293-3
Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры, Ю. Группа, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-89931-0
The Light Fantastic - Введение в классическую и квантовую оптику, И. Кеньон, Oxford University Press, 2008 г., ISBN 978-0-19-856646-5
Энциклопедия физики (2-е издание), R.G. Лернер, Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), К. Б. Паркер, 1994, ISBN 0-07-051400-3

[1] G. Kirchhoff, Ann. d. Physik. 1883, 2, 18, с. 663.

[Born_and_Wolf-2] а ^б ^c Макс Борн и Эмиль Вольф, Принципы оптики, 1999, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 417–420.

[3] Введение в фурье-оптику Дж. Гудман сек. 3.3.3

[1]

[2]

[3]