Теорема Мирского - Mirskys theorem

В математика, в районах теория порядка и комбинаторика, Теорема Мирского характеризует высоту любого конечного частично заказанный набор в части разделения заказа на минимальное количество антицепи. Он назван в честь Леон Мирский (1971 ) и тесно связан с Теорема Дилворта по ширине частичных заказов, до совершенство из графики сопоставимости, в Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера. относящийся самые длинные пути и раскраски в графиках, и в Теорема Эрдеша – Секереса на монотонных подпоследовательностях.

Теорема

Высота частично упорядоченного набора определяется как максимальная мощность элемента цепь, а полностью заказанный подмножество данного частичного порядка. Например, в наборе натуральных чисел от 1 до N, заказан делимость, одна из крупнейших цепочек состоит из силы двух которые лежат в этом диапазоне, из которого следует, что высота этого частичного порядка равна ${ displaystyle 1+ lfloor log _ {2} N rfloor}$ .

Теорема Мирского утверждает, что для каждого конечного частично упорядоченного множества высота также равна минимальному количеству антицепей (подмножеств, в которых никакая пара элементов не упорядочена), на которые это множество может быть разбито. В таком разбиении каждые два элемента самой длинной цепочки должны входить в две разные антицепи, поэтому количество антицепей всегда больше или равно высоте; другая формулировка теоремы Мирского состоит в том, что всегда существует разбиение, для которого количество антицепей равно высоте. Опять же, в примере положительных целых чисел, упорядоченных по делимости, числа можно разделить на антицепи {1}, {2,3}, {4,5,6,7} и т. Д. ${ displaystyle 1+ lfloor log _ {2} N rfloor}$ наборов в этом разделе, и в каждом из этих наборов каждая пара чисел образует отношение меньше двух, поэтому никакие два числа в одном из этих наборов не могут быть делимыми.

Чтобы доказать существование разбиения на небольшое количество антицепей для произвольного конечного частично упорядоченного множества, рассмотрим для каждого элемента Икс цепи, которые имеют Икс как их самый большой элемент, и пусть N(Икс) обозначают размер самого большого из этих Икс-максимальные цепи. Затем каждый набор N⁻¹(я), состоящий из элементов, имеющих равные значения N, является антицепью, и эти антицепи разделяют частичный порядок на количество антицепей, равное размеру наибольшей цепи. В своем первоначальном доказательстве Мирский строит то же разбиение индуктивно, выбирая антицепь из максимальных элементов самых длинных цепочек и показывая, что длина самой длинной цепи среди оставшихся элементов уменьшается на единицу.

Связанные результаты

Теорема Дилворта

Мирский был вдохновлен Теорема Дилворта, утверждая, что для каждого частично упорядоченного набора максимальный размер антицепи равен минимальному количеству цепочек в разбиении набора на цепочки. Для наборов размер заказа два, две теоремы совпадают (цепочка в мажоризация упорядочение точек в общем положении на плоскости является антицепью во множестве точек, образованных поворотом на 90 ° относительно исходного множества, и наоборот), но для более общих частичных порядков эти две теоремы различаются и (как замечает Мирский) Дилворта Теорема сложнее доказать.

Теорема Мирского и теорема Дилворта также связаны друг с другом через теорию идеальные графики. Неориентированный граф - это идеально если в каждом индуцированный подграф, то хроматическое число равен размеру самой большой клики. в график сопоставимости частично упорядоченного множества клика представляет собой цепь, а раскраска представляет собой разбиение на антицепи, а индуцированные подграфы графов сопоставимости сами являются графами сопоставимости, поэтому теорема Мирского утверждает, что графы сопоставимости совершенны. Аналогично теорема Дилворта утверждает, что каждое дополнительный граф графа сопоставимости идеален. В теорема о совершенном графе из Ловас (1972) утверждает, что дополнения к совершенным графам всегда совершенны, и могут использоваться для вывода теоремы Дилворта из теоремы Мирского и наоборот (Голумбик 1980 ).

Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера.

Теорема Мирского может быть переформулирована в терминах ориентированные ациклические графы (представляет собой частично упорядоченный набор достижимость их вершин), как утверждение, что существует гомоморфизм графов из заданного ориентированного ациклического графа грамм к k-вертекс переходный турнир тогда и только тогда, когда не существует гомоморфизма из a (k + 1) -вертекс граф путей к грамм. Для наибольшего графа путей, имеющего гомоморфизм грамм дает самую длинную цепочку в порядке достижимости, а множества вершин с одним и тем же образом в гомоморфизме транзитивного турнира образуют разбиение на антицепи. Это утверждение обобщается на случай, когда грамм не является ациклическим, а является формой Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера. на раскраски графиков и ориентации (Нешетржил и Оссона де Мендес 2012 ).

Теорема Эрдеша – Секереса

Из теоремы Дилворта или теоремы Мирского следует, что в каждом частично упорядоченном множестве RS + 1 элементов, должна существовать либо цепочка из р + 1 элемент или антицепь s + 1 элемент. Мирский (1971) использует это наблюдение, примененное к частичному порядку размерности два, чтобы доказать Теорема Эрдеша – Секереса что в каждой последовательности RS + 1 полностью упорядоченных элементов должна существовать либо монотонно возрастающая подпоследовательность р + 1 элемент или монотонно убывающая подпоследовательность s + 1 элемент.

Расширения

Теорема Мирского немедленно распространяется на бесконечные частично упорядоченные множества конечной высоты. Однако соотношение между длиной цепочки и количеством антицепей в разбиении на антицепи не распространяется на бесконечные мощности: для любого бесконечного количественное числительное κ, существуют частично упорядоченные множества, которые не имеют бесконечной цепи и не имеют антицепного разбиения с κ или меньшим количеством антицепей (Шмерль 2002 ).