Мереотопология - Mereotopology

В формальная онтология, филиал метафизика, И в онтологическая информатика, мереотопология это теория первого порядка, воплощающий мереологический и топологический концепции отношений между целыми, частями, частями частей и границы между частями.

История и мотивация

Мереотопология начинается в философии с теорий, сформулированных А. Н. Уайтхед в нескольких книгах и статьях, опубликованных в период с 1916 по 1929 год, частично опираясь на мереогеометрию Де Лагуны (1922). Первым, кто предложил идею о бесточечном определении понятия топологического пространства в математике, был Карл Менгер в его книге Dimensionstheorie (1928) - см. Также его (1940). Ранние исторические основы меротопологии задокументированы в Bélanger and Marquis (2013), а ранние работы Уайтхеда обсуждаются в Kneebone (1963: chpt. 13.5) и Simons (1987: 2.9.1).^[1] Теория Уайтхеда 1929 г. Процесс и реальность дополнили отношение части-целого топологическими понятиями, такими как смежность и связь. Несмотря на проницательность Уайтхеда как математика, его теории были недостаточно формальными, даже ошибочными. Показав, как теории Уайтхеда могут быть полностью формализованы и исправлены, Кларк (1981, 1985) основал современную мереотопологию.^[2] Теории Кларка и Уайтхеда обсуждаются у Саймонса (1987: 2.10.2) и Лукаса (2000: глава 10). Вход Бесточечная геометрия Уайтхеда включает две современные трактовки теорий Уайтхеда, разработанные Джангиакомо Герла, каждая из которых отличается от теории, изложенной в следующем разделе.

Хотя меротопология - это математическая теория, мы обязаны ее последующим развитием логики и теоретические компьютерные ученые. Лукас (2000: глава 10) и Касати и Варци (1999: главы 4,5) представляют собой введение в меротопологию, которое может прочитать любой, кто прошел курс логика первого порядка. Более продвинутые методы лечения мереотопологии включают Cohn и Varzi (2003), а для математически сложных - Roeper (1997). Для математической обработки безточечная геометрия см. Герла (1995). Решетка -теоретический (алгебраический ) трактовки меротопологии как контактные алгебры были применены для разделения топологический от мереологический структуру см. Stell (2000), Düntsch and Winter (2004).

Приложения

Барри Смит ^[3], Энтони Кон, Ахилле Варци и их соавторы показали, что меротопология может быть полезна в формальная онтология и Информатика, позволяя формализовать такие отношения, как контакт, связь, границы, интерьеры, дыры и так далее. Мереотопология применялась также как инструмент качественного пространственно-временные рассуждения, с исчислениями ограничений, такими как Исчисление связи регионов (ПКР). Он служит отправной точкой для теории назначенных границ, разработанной Смитом и Варци.^[4], который вырос из попытки формально различить

границы (в географии, геополитике и других областях), которые отражают более или менее произвольные человеческие демаркации и
границы, отражающие истинные физические неоднородности (Smith 1995,^[5], 2001^[6]).

Мереотопология применяется Салюстри в области цифрового производства (Салустри, 2002) и Смитом и Варци для формализации основных понятий экологии и экологической биологии (Смит и Варци, 1999^[7], 2002^[8]). Он также применяется для решения нечетких границ в географии (Smith and Mark, 2003^[9]), а также при исследовании нечеткости и детализации (Smith and Brogaard, 2002^[10], Биттнер и Смит, 2001 г.^[11], 2001a^[12]).

Предпочтительный подход Casati & Varzi

Касати и Варци (1999: глава 4) изложили множество мереотопологических теорий в последовательных обозначениях. В этом разделе излагается несколько взаимосвязанных теорий, которые достигают высшей точки в предпочитаемой ими теории. GEMTC, и внимательно следит за их изложением. Мереологическая часть GEMTC общепринятая теория GEM. Казати и Варци не говорят, что модели из GEMTC включать любые обычные топологические пространства.

Начнем с некоторых область дискурса, элементы которого называются отдельные лица (а синоним для мереология это «исчисление индивидов»). Казати и Варци предпочитают ограничивать онтологию физическими объектами, но другие свободно используют мереотопологию для рассуждений о геометрических фигурах и событиях и для решения проблем, поставленных исследованиями в машинный интеллект.

Заглавная латинская буква обозначает как связь и предикат письмо, касающееся этого отношения в логика первого порядка. Строчные буквы в конце алфавита обозначают переменные в пределах домена; буквы из начала алфавита - это имена произвольных лиц. Если формула начинается с атомная формула за которым следует двухусловный, подформула справа от двусмысленной формулы является определением атомарной формулы, переменные которой равны несвязанный. В противном случае, переменные, которые не определены явно количественно, неявно универсально определяемый. Аксиома Cn ниже соответствует аксиоме C.n в Casati and Varzi (1999: глава 4).

Начнем с топологического примитива a бинарное отношение называется связь; атомарная формула Cxy означает, что "Икс связан с y. "Связь регулируется, как минимум, аксиомами:

C1. ${ displaystyle Cxx.}$ (рефлексивный )

C2. ${ displaystyle Cxy rightarrow Cyx.}$ (симметричный )

Теперь установите бинарное отношение E, определяется как:

${ displaystyle Exy leftrightarrow [Czx rightarrow Czy].}$

Exy читается как "y включает Икс"и также имеет топологический характер. Следствие C1-2 в том, что E является рефлексивный и переходный, а значит предзаказ. Если E также предполагается экстенсиональный, так что:

${ displaystyle (Exa leftrightarrow Exb) leftrightarrow (a = b),}$

тогда E можно доказать антисимметричный и таким образом становится частичный заказ. Приложение с пометкой xKy, является единственным примитивным отношением теории Уайтхеда (1919, 1925), отправная точка мереотопологии.

Позволять отлучение быть определяющим примитивом бинарное отношение лежащих в основе мереология, и пусть атомная формула Pxy обозначают, что "Икс часть y". Мы предполагаем, что п это частичный заказ. Назовите получившуюся минималистскую мереологическую теорию M.

Если Икс часть y, мы постулируем, что y включает Икс:

C3. ${ displaystyle Pxy rightarrow Exy.}$

C3 прекрасно соединяет мереологический разлука с топологический корпус.

Позволять О, бинарное отношение мереологических перекрывать, можно определить как:

${ displaystyle Oxy leftrightarrow exists z [Pzx land Pzy].}$

Позволять Окси обозначают, что "Икс и y перекрытие ". О в руке, следствие C3 является:

${ displaystyle Oxy rightarrow Cxy.}$

Обратите внимание, что разговаривать не обязательно выполняется. В то время как перекрывающиеся вещи обязательно связаны, связанные вещи не обязательно перекрываются. Если бы это было не так, топология будет просто моделью мереология (в котором «перекрытие» всегда либо примитивно, либо определено).

Наземная меротопология (MT) - теория, состоящая из примитивных C и п, определено E и О, аксиомы C1-3, и аксиомы, гарантирующие, что п это частичный заказ. Замена M в MT со стандартом экстенсиональный мереология GEM приводит к теории GEMT.

Позволять IPxy обозначают, что "Икс является внутренней частью y." IP определяется как:

${ displaystyle IPxy leftrightarrow (Pxy land (Czx rightarrow Ozy)).}$

Пусть σИкс φ (Икс) обозначают мереологическую сумму (слияние) всех индивидов в области, удовлетворяющих φ (Икс). σ - это привязка переменных приставка оператор. Аксиомы GEM убедимся, что эта сумма существует, если φ (Икс) это формула первого порядка. С σ и соотношением IP в руке, мы можем определить интерьер из Икс, ${ Displaystyle mathbf {я} х,}$ как мереологическая сумма всех внутренних частей z из Икс, или:

${ Displaystyle mathbf {я} х =}$ _df ${ Displaystyle sigma г [IPzx].}$

Два простых следствия этого определения:

${ displaystyle mathbf {i} W = W,}$

где W универсальный человек, и

C5.^[13] ${ Displaystyle P ( mathbf {я} х) х.}$ (Включение )

Оператор я обладает еще двумя аксиоматическими свойствами:

C6. ${ displaystyle mathbf {i} ( mathbf {i} x) = mathbf {i} x.}$ (Идемпотентность )

C7. ${ Displaystyle mathbf {я} (х раз у) = mathbf {я} х раз mathbf {я} у,}$

где а×б является мереологическим продуктом а и б, не определено, когда Oab ложно. я распределяет по продукту.

Теперь видно, что я является изоморфный к оператор интерьера из топология. Следовательно двойной из ятопологический оператор закрытия c, можно определить в терминах я, и Куратовски аксиомы для c теоремы. Аналогичным образом, учитывая аксиоматизацию c это аналогично C5-7, я можно определить в терминах c, и C5-7 становятся теоремами. Добавление C5-7 к GEMT приводит к предпочтительной мереотопологической теории Касати и Варци, GEMTC.

Икс является самоподключенный если он удовлетворяет следующему предикату:

${ displaystyle SCx leftrightarrow ((Owx leftrightarrow (Owy lor Owz)) rightarrow Cyz).}$

Обратите внимание, что примитивные и определенные предикаты MT одного достаточно для этого определения. Предикат SC позволяет формализовать необходимое условие, приведенное в Уайтхед с Процесс и реальность для существования мереологической суммы двух индивидов: они должны быть связаны. Формально:

C8. ${ Displaystyle Cxy rightarrow существует z [SCz land Ozx land (Pwz rightarrow (Owx lor Owy)).}$

Учитывая некоторую мереотопологию Икс, добавив C8 к Икс приводит к тому, что Касати и Варци называют Расширение Уайтхеда из Икс, обозначенный WX. Следовательно, теория, аксиомы которой C1-8 является WGEMTC.

Обратное C8 это GEMTC теорема. Следовательно, учитывая аксиомы GEMTC, C является определенным предикатом, если О и SC принимаются как примитивные предикаты.

Если основная мереология безатомный и слабее, чем GEM, аксиома, гарантирующая отсутствие атомов (P9 в Casati and Varzi 1999) может быть заменен на C9, который постулирует, что ни у одного человека нет топологическая граница:

C9. ${ Displaystyle forall x существует y [Pyx land (Czy rightarrow Ozx) land lnot (Pxy land (Czx rightarrow Ozy))].}$

Когда область состоит из геометрических фигур, границами могут быть точки, кривые и поверхности. Что могут означать границы с учетом других онтологий, - непростой вопрос, и он обсуждается в Casati и Varzi (1999: глава 5).

Смотрите также

Мереология
Бессмысленная топология
Топология точек
Топология
Топологическое пространство (со ссылками на T0 через T6 )
Бесточечная геометрия Уайтхеда

Заметки

^ Ср. Питер Симонс, "Уайтхед и мереология", в книге Гийома Дюрана и др. Мишель Вебер (éditeurs), Принципы естественного знания Альфреда Норта Уайтхеда - Принципы естественного знания Альфреда Норта Уайтхеда, Франкфурт / Париж / Ланкастер, онс верлаг, 2007. См. Также соответствующие статьи Мишель Вебер и Уилл Десмонд, (ред.), Справочник по мысли о процессе Уайтхеда, Франкфурт-на-Ланкастере, обзор, Process Thought X1 & X2, 2008.
^ Casati & Varzi (1999: глава 4) и Biacino & Gerla (1991) имеют оговорки по поводу некоторых аспектов формулировки Кларка.
^ Барри Смит, "Мереотопология: теория частей и границ ”, Инженерия данных и знаний, 20 (1996), 287–303.
^ Барри Смит и Ахилле Варци, "Границы Fiat и Bona Fide ”, Философия и феноменологические исследования, 60: 2 (март 2000), 401–420.
^ Барри Смит, "О рисовании линий на карте ”, В Эндрю У. Франк и Вернер Кун (ред.), Теория пространственной информации. Теоретическая основа ГИС (Конспект лекций по информатике 988), Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк и др .: Springer, 1995, 475–484.
^ Барри Смит, "Объекты Fiat ”, Topoi, 20: 2 (сентябрь 2001), 131–148.
^ Барри Смит и Ахилле Варци, "Ниша ”, Ноус, 33:2 (1999), 198–222.
^ Барри Смит и Ахилле Варци, "Окружающее пространство: онтология взаимоотношений организм-среда ”, Теория в биологических науках, 121 (2002), 139–162.
^ Барри Смит и Дэвид М. Марк, "Существуют ли горы? К онтологии форм рельефа ”, Окружающая среда и планирование B (планирование и дизайн), 30(3) (2003), 411–427.
^ Барри Смит и Берит Брогаард, "Квантовая мереотопология ”, Анналы математики и искусственного интеллекта, 35/1–2 (2002), 153–175.
^ Томас Биттнер и Барри Смит "Единая теория детализации, неопределенности и приближения ”, Материалы семинара COSIT по пространственной неопределенности, неопределенности и гранулярности (2001).
^ Томас Биттнер и Барри Смит "Гранулярные разделы и неопределенность »В Кристофере Велти и Барри Смите (ред.),« Формальная онтология в информационных системах »., Нью-Йорк: ACM Press, 2001, 309–321.
^ Аксиома C4 Касати и Варци (1999) не имеет отношения к этой записи.

использованная литература

Бачино Л. и Герла Г., 1991 г. "Структуры подключения," Журнал формальной логики Нотр-Дам 32: 242-47.
Касати, Роберто и Варци, Ахилле, 1999. Части и места: структуры пространственного представления. MIT Press.
Стелл Дж. Г., 2000 г. "Булевы алгебры связности: новый подход к исчислению региональных связей," Искусственный интеллект 122: 111-136.

внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии: Граница - Акилле Варци. Со многими ссылками.

[1] Ср. Питер Симонс, "Уайтхед и мереология", в книге Гийома Дюрана и др. Мишель Вебер (éditeurs), Принципы естественного знания Альфреда Норта Уайтхеда - Принципы естественного знания Альфреда Норта Уайтхеда, Франкфурт / Париж / Ланкастер, онс верлаг, 2007. См. Также соответствующие статьи Мишель Вебер и Уилл Десмонд, (ред.), Справочник по мысли о процессе Уайтхеда, Франкфурт-на-Ланкастере, обзор, Process Thought X1 & X2, 2008.

[2] Casati & Varzi (1999: глава 4) и Biacino & Gerla (1991) имеют оговорки по поводу некоторых аспектов формулировки Кларка.

[3] Барри Смит, "Мереотопология: теория частей и границ ”, Инженерия данных и знаний, 20 (1996), 287–303.

[4] Барри Смит и Ахилле Варци, "Границы Fiat и Bona Fide ”, Философия и феноменологические исследования, 60: 2 (март 2000), 401–420.

[5] Барри Смит, "О рисовании линий на карте ”, В Эндрю У. Франк и Вернер Кун (ред.), Теория пространственной информации. Теоретическая основа ГИС (Конспект лекций по информатике 988), Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк и др .: Springer, 1995, 475–484.

[6] Барри Смит, "Объекты Fiat ”, Topoi, 20: 2 (сентябрь 2001), 131–148.

[7] Барри Смит и Ахилле Варци, "Ниша ”, Ноус, 33:2 (1999), 198–222.

[8] Барри Смит и Ахилле Варци, "Окружающее пространство: онтология взаимоотношений организм-среда ”, Теория в биологических науках, 121 (2002), 139–162.

[9] Барри Смит и Дэвид М. Марк, "Существуют ли горы? К онтологии форм рельефа ”, Окружающая среда и планирование B (планирование и дизайн), 30(3) (2003), 411–427.

[10] Барри Смит и Берит Брогаард, "Квантовая мереотопология ”, Анналы математики и искусственного интеллекта, 35/1–2 (2002), 153–175.

[11] Томас Биттнер и Барри Смит "Единая теория детализации, неопределенности и приближения ”, Материалы семинара COSIT по пространственной неопределенности, неопределенности и гранулярности (2001).

[12] Томас Биттнер и Барри Смит "Гранулярные разделы и неопределенность »В Кристофере Велти и Барри Смите (ред.),« Формальная онтология в информационных системах »., Нью-Йорк: ACM Press, 2001, 309–321.

[13] Аксиома C4 Касати и Варци (1999) не имеет отношения к этой записи.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]