Бессмысленная топология - Pointless topology

В математика, бессмысленная топология (также называемый без точек или же бесточечная топология, или же теория локали) - подход к топология это позволяет избежать упоминания точек.

Интуитивно

Традиционно топологическое пространство состоит из набор из точки вместе с топология, система подмножеств, называемая открытые наборы что с операциями пересечение и союз образует решетка с определенными свойствами. Бесточечная топология основана на концепции «реалистичного пятна», а не точки без протяженности. Пятна могут быть присоединился (образуя полную решетку), и если пятно встречается с соединением других, оно должно встретиться с некоторыми из составляющих, что, грубо говоря, приводит к закону распределения

${displaystyle bwedge left (igvee a_ {i} ight) = igvee left (bwedge a_ {i} ight)}$ .

Формально

Основная концепция - это концепция Рамка, а полная решетка удовлетворяющие приведенному выше закону распределения; каркасные гомоморфизмы уважают все присоединяется (в частности, наименьший элемент решетки) и конечных встречает (в частности, величайший элемент решетки).

Фреймы вместе с гомоморфизмами фреймов образуют категория.

Связь с топологией точек

В классической топологии, представленной на множестве ${displaystyle X}$ по системе ${displaystyle Omega (X)}$ открытых наборов, ${displaystyle Omega (X)}$ (частично упорядоченный включением) - фрейм, а если ${displaystyle fcolon X o Y}$ - непрерывное отображение, ${displaystyle Omega (f) двоеточие Omega (Y) o Omega (X)}$ определяется ${displaystyle Omega (f) (U) = f ^ {- 1} [U]}$ является гомоморфизмом реперов. За трезвые пространства такой ${displaystyle Omega (f)}$ являются в точности гомоморфизмами реперов ${displaystyle hcolon Omega (Y) o Omega (X)}$ . Следовательно ${displaystyle Omega}$ это полное встраивание категории трезвых пространств в двойственную категорию фреймов (обычно называемую категорией локалей). Это оправдывает понимание фреймов (локалей) как обобщенных топологических пространств. Рамка пространственный если он изоморфен ${displaystyle Omega (X)}$ . Непространственных много, и это помогло в нескольких задачах.

Теория фреймов и локалей

Теория рамки и локали в современном понимании было начато в конце 1950-х (Чарльз Эресманн, Жан Бенабу, Хью Доукер, Дона Паперт ) и развивались в течение следующих десятилетий (Джон Исбелл, Питер Джонстон, Гарольд Симмонс, Бернхард Банашевски, Алеш Пултр, Тиль Плеве, Джапи Вермелен, Стив Викерс ) в живую ветвь топологии, имеющую применение в различных областях, в частности, в теоретической информатике. Подробнее об истории теории локали см.^[1]

Можно перевести большинство концепций точечная топология в контексте локалей и докажите аналогичные теоремы. Говоря о преимуществах безточечного подхода, отметим, например, тот факт, что некоторые важные факты классической топологии, зависящие от принципы выбора стать свободным от выбора (то есть конструктивный, что особенно важно для информатики). Так, например, продукты компактных локалей конструктивно компактны, или пополнения однородных локалей конструктивны. Это может быть полезно, если вы работаете в топос у которого нет аксиомы выбора. Другие преимущества включают в себя гораздо лучшее поведение паракомпактности или тот факт, что подгруппы локальных групп всегда замкнуты.

Еще один момент, в котором теория локалей и топология сильно расходятся, - это концепции подпространств и подлокалей: Isbell Согласно теореме плотности, каждая локаль имеет наименьшую плотную подлокаль. Это не имеет абсолютно никакого эквивалента в области топологических пространств.

Смотрите также

Алгебра Гейтинга. Кадр - это полная алгебра Гейтинга.
Полная булева алгебра. Любая полная булева алгебра является каркасом (это пространственный каркас тогда и только тогда, когда он атомарен).
Подробная информация о взаимосвязи между категорией топологических пространств и категорией локалей, включая явное построение двойственности между трезвые пространства и пространственные локации, можно найти в статье о Каменная двойственность.
Бесточечная геометрия.

Библиография

^ Питер Т. Джонстон, Элементы истории теории локали, в: Справочник по истории общей топологии, т. 3, стр. 835-851, Springer, ISBN 978-0-7923-6970-7, 2001.

Общее введение в бессмысленную топологию:

Джонстон, Питер Т. (1983). «Дело бессмысленной топологии». Бюллетень (новая серия) Американского математического общества. 8 (1): 41–53. ISSN 0273-0979. Получено 2016-05-09.CS1 maint: ref = harv (связь)

Это, по его собственным словам, следует читать как трейлер превосходной монографии Джонстона (которая появилась уже в 1982 году и до сих пор может использоваться в качестве основной ссылки):

Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства. Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-33779-3.

Есть недавняя монография

Пикадо, Хорхе, Пултр, Алеш (2012). Рамки и локали: Топология без точек. Границы в математике, т. 28, Спрингер, Базель.

где также можно найти более обширную библиографию.

Для отношений с логикой:

Викерс, Стивен (1996). Топология через логику. Кембриджские трактаты по теоретической информатике, издательство Кембриджского университета.

Более подробный отчет см. В соответствующих главах:

Педиккио, Мария Кристина, Толен, Вальтер (ред.). Категориальные основы - специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений, Vol. 97, Cambridge University Press, 2003, стр. 49–101.
Hazewinkel, Michiel (Ред.). Справочник по алгебре. Vol. 3, Северная Голландия, Амстердам, 2003 г., стр. 791–857.
Гретцер, Джордж, Верунг, Фридрих (ред.). Теория решеток: специальные темы и приложения. Vol. 1, Springer, Базель, 2014 г., стр. 55–88.

[1] Питер Т. Джонстон, Элементы истории теории локали, в: Справочник по истории общей топологии, т. 3, стр. 835-851, Springer, ISBN 978-0-7923-6970-7, 2001.

[1]