Среднее значение функции - Mean of a function

В исчисление, и особенно многомерное исчисление, то среднее значение функции в общих чертах определяется как среднее значение функции по ее домен. В одной переменной среднее значение функции ж(Икс) на интервале (а, б) определяется

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Напомним, что определяющим свойством среднего значения ${\displaystyle {\bar {y}}}$ конечного числа чисел ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$в том, что ${\displaystyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}$. Другими словами, ${\displaystyle {\bar {y}}}$ это постоянный значение, которое, когдадобавлен себе ${\displaystyle n}$ раз равен результату добавления ${\displaystyle n}$ условия ${\displaystyle y_{i}}$. По аналогии, определение свойства среднего значения ${\displaystyle {\bar {f}}}$ функции на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ в том, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Другими словами, ${\displaystyle {\bar {f}}}$ это постоянный значение, которое, когда интегрированный над ${\displaystyle [a,b]}$ равняется результату интеграции ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle [a,b]}$. Но ко второму основная теорема исчисления, интеграл от постоянной${\displaystyle {\bar {f}}}$ просто

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(b-a){\bar {f}}}$

См. Также первая теорема о среднем значении для интегрирования, что гарантирует, что если ${\displaystyle f}$ непрерывно, то существует точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$ такой, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)}$

Смысл ${\displaystyle f(c)}$ называется средним значением ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$. Итак, мы пишем${\displaystyle {\bar {f}}=f(c)}$ и переставьте предыдущее уравнение, чтобы получить приведенное выше определение.

Для нескольких переменных среднее значение относительно компактный домен U в Евклидово пространство определяется

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.}$

Это обобщает арифметика иметь в виду. С другой стороны, можно также обобщить геометрический означает для функций, определяя среднее геометрическое ж быть

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right).}$

В более общем плане в теория меры и теория вероятности, любое средство играет важную роль. В контексте, Неравенство Дженсена дает точные оценки взаимосвязи между этими двумя различными понятиями среднего значения функции.

Также есть гармоническое среднее функций и квадратичное среднее (или же среднеквадратическое значение) функций.

Смотрите также

• Иметь в виду