Состояние продукта матрицы - Matrix product state

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц.

Состояние продукта матрицы (MPS) это квантовое состояние множества частиц, записанных в следующем виде:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}{\text{Tr}}[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,}$

куда ${\displaystyle A_{i}^{(s_{i})}}$ находятся сложный, квадратные матрицы порядка ${\displaystyle \chi }$ (это измерение называется локальным измерением). Индексы ${\displaystyle s_{i}}$ переходить по состояниям в вычислительной базе. За кубиты, это ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1\}}$. Для кудитов (систем уровня d) это ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}}$.

Это особенно полезно при работе с основные состояния одномерных квантовых спиновых моделей (например, Модель Гейзенберга (квантовая) ) .Параметр ${\displaystyle \chi }$ относится к запутанность между частицами. В частности, если состояние состояние продукта (т.е. совсем не запутано), его можно описать как состояние матричного произведения с ${\displaystyle \chi =1}$.

Для состояний, которые трансляционно симметричны, мы можем выбрать:

${\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}$

В общем, каждое состояние можно записать в форме MPS (с ${\displaystyle \chi }$ экспоненциально растет с числом частиц N). Однако MPS практичны, когда ${\displaystyle \chi }$ мала - например, не зависит от количества частиц. За исключением небольшого количества конкретных случаев (некоторые из них упомянуты в разделе Примеры ), это невозможно, хотя во многих случаях это хорошее приближение.

Разложение MPS не уникально. Для ознакомления см. ^[1] и.^[2] В контексте конечных автоматов см.^[3] Чтобы узнать о графическом обосновании тензорных сетей, см. Введение.^[4]

Получение MPS

Один из методов получения MPS-представления квантового состояния - использовать Разложение Шмидта N − 1 раз. В качестве альтернативы, если квантовая схема который подготавливает множество состояний тела, можно сначала попытаться получить представление схемы оператором матричного произведения. Локальные тензоры в операторе матричного произведения будут тензорами четырех индексов. Локальный тензор MPS получается путем сжатия одного физического индекса локального тензора MPO с состоянием, которое вводится в квантовую схему в этом узле.

Примеры

Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера

Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера, который для N частицы можно записать как суперпозиция из N нули и N те

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

может быть выражено как матричное состояние продукта с точностью до нормализации с

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

или, что то же самое, с использованием обозначений из:^[3]

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

В этой нотации используются матрицы с элементами, являющимися векторами состояний (вместо комплексных чисел), а когда умножающие матрицы с помощью тензорное произведение для его записей (вместо произведения двух комплексных чисел). Такая матрица строится как

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

Обратите внимание, что тензорное произведение не коммутативный.

В этом конкретном примере продукт двух А матрицы это:

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

Состояние W

Состояние W, т.е. суперпозиция всех вычислительных базисных состояний веса Хэмминга один. Несмотря на то, что состояние симметрично по перестановкам, его простейшее представление MPS - нет.^[1] Например:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

AKLT модель

Основная статья: AKLT модель

Волновая функция основного состояния AKLT, которая является историческим примером подхода MPS:^[5] соответствует выбору^[6]

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$ находятся Матрицы Паули, или же

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Модель Маджумдара – Гоша

Основная статья: Модель Маджумдара – Гоша

Основное состояние Маджумдара – Гоша может быть записано как MPS с

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$

Смотрите также

• Ренормализационная группа матрицы плотности
• Вариационный метод (квантовая механика)
• Перенормировка
• Цепь Маркова

Рекомендации

1. Perez-Garcia, D .; Verstraete, F .; Вольф, М. (2008). «Матричные представления состояний продукта». arXiv:Quant-ph / 0608197.
2. Verstraete, F .; Murg, V .; Cirac, J.I. (2008). «Матричные состояния продукта, спроектированные состояния запутанных пар и методы вариационной ренормализационной группы для квантовых спиновых систем». Успехи в физике. 57 (2): 143–224. arXiv:0907.2796. Bibcode:2008AdPhy..57..143V. Дои:10.1080/14789940801912366.
3. Кроссвайт, Грегори; Бэкон, Дэйв (2008). «Конечные автоматы для кэширования в алгоритмах матричного произведения». Физический обзор A. 78 (1): 012356. arXiv:0708.1221. Bibcode:2008PhRvA..78a2356C. Дои:10.1103 / PhysRevA.78.012356.
4. Биамонте, Иаков; Бергхольм, Вилле (2017). «Тензорные сети в двух словах»: 35. arXiv:1708.00006.
5. Аффлек, Ян; Кеннеди, Том; Lieb, Elliott H .; Тасаки, Хэл (1987). «Строгие результаты по основным состояниям валентных связей в антиферромагнетиках». Письма с физическими проверками. 59 (7): 799–802. Bibcode:1987ПхРвЛ..59..799А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.799. PMID  10035874.
6. Шолльвёк, Ульрих (2011). «Ренормализационная группа матрицы плотности в возрасте состояний матричного произведения». Анналы физики. 326: 96–192. arXiv:1008.3477. Bibcode:2011AnPhy.326 ... 96S. Дои:10.1016 / j.aop.2010.09.012.

внешняя ссылка

• Обзорная статья с открытым исходным кодом, посвященная тензорным сетевым алгоритмам, приложениям и программному обеспечению.
• Состояние матричных состояний продукта - Physics Stack Exchange
• Практическое введение в тензорные сети: состояния продуктов матрицы и состояния спроектированных запутанных пар
• Махание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям
• В двух словах о тензорных сетях: введение в тензорные сети