Гипотеза Маркуса – Ямабе - Markus–Yamabe conjecture

В математика, то Гипотеза Маркуса – Ямабе это догадка на глобальном асимптотическая устойчивость. Гипотеза утверждает, что если непрерывно дифференцируемый карта на ${\displaystyle n}$-размерный настоящий векторное пространство имеет фиксированная точка, и это Матрица якобиана везде Гурвиц, то неподвижная точка глобально устойчива.

Гипотеза верна для двумерного случая. Однако контрпримеры были построены в более высоких измерениях. Следовательно, в двумерном случае Только, его также можно назвать Теорема Маркуса – Ямабе.

Связанные математические результаты, касающиеся глобальной асимптотической устойчивости, которые находятся применимы в размерах больше двух, включают различные автономные теоремы сходимости. Аналог гипотезы для нелинейной управляемой системы со скалярной нелинейностью известен как Гипотеза Кальмана.

Математическая формулировка гипотезы

Позволять ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ быть ${\displaystyle C^{1}}$ карта с ${\displaystyle f(0)=0}$ и якобиан ${\displaystyle Df(x)}$ которое является устойчивым по Гурвицу для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

потом ${\displaystyle 0}$ является глобальным аттрактором динамической системы ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$.

Гипотеза верна для ${\displaystyle n=2}$ и ложь вообще для ${\displaystyle n>2}$.

Рекомендации

• Л. Маркус и Х. Ямабе, "Критерии глобальной устойчивости дифференциальных систем", Osaka Math J. 12:305–317 (1960)[1]
• Гэри Мейстерс, Биография гипотезы Маркуса – Ямабе (1996)
• К. Гутьеррес, "Решение двумерной гипотезы глобальной асимптотической устойчивости", Анна. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12: 627–671 (1995).
• Р. Фесслер, "Доказательство двумерной гипотезы устойчивости Маркуса – Ямабе и ее обобщение", Анна. Полон. Математика. 62:45–74 (1995)
• А. Цима и др., "Полиномиальный контрпример к гипотезе Маркуса – Ямабе", Успехи в математике 131(2):453–457 (1997)
• Хосеп Бернат и Жауме Ллибре, «Контрпример к гипотезам Калмана и Маркуса – Ямабе в размерности больше 3», Dynam. Продолжить. Дискретные импульсы. Системы 2(3):337–379, (1996)
• Брагин В.О., Вагайцев В.И., Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Гипотезы Айзермана и Калмана и схемы Чуа"^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Международный журнал компьютерных и системных наук 50(5):511–543, (2011) (DOI: 10.1134 / S106423071104006X )
• Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., «Скрытые аттракторы в динамических системах. От скрытых колебаний в задачах Гильберта-Колмогорова, Айзермана и Калмана до скрытых хаотических аттракторов в схемах Чуа», Международный журнал бифуркаций и хаоса 23(1): ст. нет. 1330002, (2013) (DOI: 10.1142 / S0218127413300024 )