Автономная теорема сходимости - Autonomous convergence theorem

В математика, автономная теорема сходимости является одним из родственников теоремы которые определяют условия, гарантирующие глобальный асимптотическая устойчивость из непрерывный автономный динамическая система.

История

В Гипотеза Маркуса – Ямабе была сформулирована как попытка дать условия глобальной устойчивости непрерывных динамических систем в двух размеры. Однако гипотеза Маркуса – Ямабе не верна для размерностей больше двух, и эту проблему пытаются решить теоремы автономной сходимости. Первая автономная теорема сходимости была построена Расселом Смитом.^[1] Позднее эта теорема была уточнена Майклом Ли и Джеймсом Малдоуни.^[2]

Пример автономной теоремы сходимости

Сравнительно простая теорема об автономной сходимости выглядит следующим образом:

Позволять ${displaystyle x}$ быть вектор в каком-то пространстве ${displaystyle Xsubseteq mathbb {R} ^{n}}$, развивающиеся в соответствии с автономный дифференциальное уравнение ${displaystyle {dot {x}}=f(x)}$. Предположим, что ${displaystyle X}$ является выпуклый и вперед инвариантный под ${displaystyle f}$, и что существует фиксированная точка ${displaystyle {hat {x}}in X}$ такой, что ${displaystyle f({hat {x}})=0}$. Если существует логарифмическая норма ${displaystyle mu }$ так что Якобиан ${displaystyle J(x)=D_{x}f}$ удовлетворяет ${displaystyle mu (J(x))<0}$ для всех значений ${displaystyle x}$, тогда ${displaystyle {hat {x}}}$ - единственная неподвижная точка, и она глобально асимптотически устойчива.^[3][4]

Эта автономная теорема сходимости очень тесно связана с Теорема Банаха о неподвижной точке.

Как работает автономная конвергенция

Примечание: это интуитивное описание того, как автономные теоремы сходимости гарантируют стабильность, а не строго математическое описание.

Ключевым моментом в приведенном выше примере теоремы является существование отрицательной логарифмической нормы, которая получается из вектора норма. Векторная норма эффективно измеряет расстояние между точками в векторном пространстве, в котором определено дифференциальное уравнение, а отрицательная логарифмическая норма означает, что расстояния между точками, измеренные соответствующей векторной нормой, уменьшаются со временем под действием ${displaystyle f}$. Пока траектории всех точек в фазовое пространство находятся ограниченный, значит, все траектории в конечном итоге должны сходиться в одну точку.

Теоремы об автономной сходимости Рассела Смита, Майкла Ли и Джеймса Малдоуни работают аналогичным образом, но они полагаются на то, что они показывают, что площадь двумерных форм в фазовом пространстве уменьшается со временем. Это означает, что нет периодические орбиты могут существовать, так как все замкнутые контуры должны сжиматься до точки. Если система ограничена, то согласно Лемма Пью о закрытии не может быть хаотичное поведение либо, поэтому все траектории в конечном итоге должны прийти к равновесию.

Майкл Ли также разработал расширенную теорему об автономной сходимости, которая применима к динамическим системам, содержащим инвариантный многообразие.^[5]

Примечания

1. Рассел А. Смит, "Некоторые приложения неравенств размерности Хаусдорфа для обыкновенных дифференциальных уравнений", Труды Королевского общества Эдинбурга Секция А, 104A:235–259, 1986
2. Майкл Ли и Джеймс С. Малдауни, "Об автономной теореме сходимости Р. А. Смита", Журнал математики Роки-Маунтин, 25(1):365–379, 1995
3. Вербицкий В.И. и А. Н. Горбань, Совместно диссипативные операторы и их приложения, Сибирский математический журнал, 33(1):19–23, 1992 (см. Также А. Н. Горбань, Ю. И. Шокин, В. И. Вербицкий, arXiv: физика / 9702021v2 [Physics.comp-ph])
4. Мурад Банаджи и Стивен Байджент, «Сети передачи электронов», Журнал математической химии, 43(4):1355–1370, 2008
5. Майкл Ли и Джеймс С. Малдауни, "Динамика дифференциальных уравнений на инвариантных многообразиях", Журнал дифференциальных уравнений, 168:295–320, 2000