Логика графиков - Logic of graphs

В математических областях теория графов и теория конечных моделей, то логика графиков занимается формальными спецификациями свойства графика используя формулы математическая логика. Есть несколько вариантов типов логических операций, которые можно использовать в этих формулах. Логика графов первого порядка касается формул, в которых переменные и предикаты относятся к отдельным вершинам и ребрам графа, в то время как логика монадического графа второго порядка допускает количественную оценку по множествам вершин или ребер. Логика на основе наименьшая фиксированная точка Операторы допускают более общие предикаты над наборами вершин, но эти предикаты могут быть построены только с помощью операторов с фиксированной точкой, ограничивая их мощность до промежуточного уровня между первым порядком и монадическим вторым порядком.

Предложение ${\displaystyle S}$ может быть истинным для одних графиков и ложным для других; график ${\displaystyle G}$ говорят модель ${\displaystyle S}$, написано ${\displaystyle G\models S}$, если ${\displaystyle S}$ верно для вершин и отношения смежности ${\displaystyle G}$. Алгоритмическая проблема проверка модели касается проверки того, моделирует ли данный граф данное предложение. Алгоритмическая проблема выполнимость касается проверки того, существует ли граф, который моделирует данное предложение. Хотя и проверка модели, и выполнимость в целом сложны, несколько основных алгоритмических мета-теорем показывают, что свойства, выраженные таким образом, могут быть эффективно протестированы для важных классов графов.

Другие темы исследований логики графов включают исследования вероятности того, что случайный граф имеет свойство, указанное в рамках определенного типа логики, и методы для Сжатие данных основан на поиске логических формул, моделируемых уникальным графом.

Первый заказ

Показанный график отображается как подграф графика. ${\displaystyle G}$ если и только если. ${\displaystyle G}$ удовлетворяет формуле ${\displaystyle \exists x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle x_{2}\sim x_{3}}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle x_{3}\sim x_{1}}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle x_{3}\sim x_{4}}$.

в логика первого порядка графов свойство графа выражается количественной логической формулой, переменные которой представляют граф вершины, с предикаты для проверки равенства и смежности.

Примеры

Например, условие, что граф не имеет изолированные вершины может быть выражено предложением

${\displaystyle \forall u\exists v(u\sim v)}$

где ${\displaystyle \sim }$ символ указывает на неориентированное отношение смежности между двумя вершинами. Это предложение можно интерпретировать как означающее, что для каждой вершины ${\displaystyle u}$ есть еще одна вершина ${\displaystyle v}$ что рядом с ${\displaystyle u}$.^[1]

В проблема изоморфизма подграфов для фиксированного подграфа ЧАС спрашивает, есть ли ЧАС появляется как подграф большего графа грамм. Это может быть выражено предложением, в котором говорится о существовании вершин (по одной для каждой вершины ЧАС) такая, что для каждого ребра ЧАС, соответствующая пара вершин смежна; см. картинку. В частном случае проблема клики (для фиксированного размера клики) может быть выражено предложением, в котором говорится о существовании числа вершин, равного размеру клики, все из которых являются смежными.

Аксиомы

Для простого неориентированные графы, теория графов первого порядка включает аксиомы

${\displaystyle \forall u{\bigl (}\lnot (u\sim u){\bigr )}}$ (граф не может содержать петли ), и

${\displaystyle \forall u\forall v(u\sim v\Rightarrow v\sim u)}$ (края неориентированные).^[2]

Другие типы графиков, например ориентированные графы, может включать различные аксиомы и логические формулировки мультиграф свойства требуют наличия отдельных переменных для вершин и ребер.

Закон нуля или единицы

В График Rado, бесконечный граф, который моделирует в точности предложения первого порядка, которые почти всегда верны для конечных графов

Glebski et al. (1969) и, независимо,Феджин (1976) оказался закон нуля или единицы для графической логики первого порядка; Доказательство Феджина использовало теорема компактности. Согласно этому результату, каждое предложение первого порядка либо почти всегда правда или почти всегда ложь для случайные графы в Модель Эрдеша – Реньи. То есть пусть S быть фиксированным предложением первого порядка и выбрать случайное п-вершинный граф грамм_п равномерно случайным образом среди всех графов на множестве п помеченные вершины. Тогда в пределе при п стремится к бесконечности вероятность того, что грамм_п модели S будет стремиться либо к нулю, либо к единице:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} [G_{n}\models S]\in \{0,1\}.}$

Более того, существует конкретный бесконечный граф, График Rado р, такие, что предложения, моделируемые графом Rado, - это именно те предложения, для которых вероятность моделирования случайным конечным графом стремится к единице:

${\displaystyle R\models S\quad \Longleftrightarrow \quad \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} [G_{n}\models S]=1.}$

Для случайных графов, в которых каждое ребро включено независимо от других с фиксированной вероятностью, верен тот же результат, с теми же предложениями, имеющими вероятности, стремящиеся к нулю или к единице.

В вычислительная сложность определения того, имеет ли данное предложение вероятность, стремящуюся к нулю или к единице, высока: проблема в том, что PSPACE-полный.^[3]Если свойство графа первого порядка имеет вероятность, стремящуюся к единице на случайных графах, то можно перечислить все п-вершинные графы, моделирующие свойство, с полиномиальная задержка (в зависимости от п) на график.^[2]

Аналогичный анализ может быть выполнен для неоднородных случайных графов, где вероятность включения ребра является функцией количества вершин и где решение о включении или исключении ребра принимается независимо с равной вероятностью для всех ребер. Однако для этих графов ситуация более сложная: в этом случае свойство первого порядка может иметь один или несколько пороговых значений, так что когда край вероятность включения ограничено от порога, то вероятность обладания данным свойством стремится к нулю или единице. Эти пороги никогда не могут быть иррациональной силой п, поэтому случайные графы, в которых вероятность включения ребер является иррациональной степенью, подчиняются закону нуля или единицы, аналогичному закону для равномерно случайных графов. Аналогичный закон нуля или единицы выполняется для очень разреженных случайных графов с вероятностью включения ребер равной п^−c с c > 1, так долго как c это не сверхчастичное соотношение.^[4] Если c является сверхчастичным, вероятность наличия данного свойства может стремиться к пределу, отличному от нуля или единицы, но этот предел можно эффективно вычислить.^[5] Существуют предложения первого порядка, у которых бесконечно много порогов.^[6]

Параметризованная сложность

Если предложение первого порядка включает k различных переменных, то описываемое свойство можно проверить на графиках п вершины, исследуя все k-наборы вершин; однако это поиск грубой силы алгоритм не особенно эффективен, требует времени О(п^k).Проблема проверки того, моделирует ли граф данное предложение первого порядка, включает в качестве частных случаев проблема изоморфизма подграфов (в котором предложение описывает графы, содержащие фиксированный подграф) и проблема клики (в котором предложение описывает графы, содержащие полные подграфы фиксированного размера). Проблема клики трудна для W (1), первый уровень иерархии сложных проблем с точки зрения параметризованная сложность. Следовательно, маловероятно иметь управляемый алгоритм с фиксированными параметрами, время работы которого имеет вид О(ж(k) п^c) для функции ж и постоянный c которые не зависят от k и п.^[7]Сильнее, если гипотеза экспоненциального времени верно, то поиск кликов и проверка модели первого порядка обязательно потребуют времени, пропорционального степени п чей показатель пропорционален k.^[8]

На ограниченных классах графов проверка моделей предложений первого порядка может быть намного более эффективной. В частности, каждое свойство графа, выражаемое в виде предложения первого порядка, можно проверить в линейное время для графиков ограниченное расширение. Это графики, в которых все мелкие несовершеннолетние находятся разреженные графики, с отношением ребер к вершинам, ограниченным функцией глубины минора. В более общем смысле, проверка модели первого порядка может выполняться в почти линейное время для нигде не плотных графов, классов графов, для которых на каждой возможной глубине есть по крайней мере один запрещенный мелкий второстепенный. И наоборот, если проверка модели является управляемой с фиксированными параметрами для любого наследственного семейства графов, это семейство должно быть нигде не плотным.^[9]

Сжатие данных и изоморфизм графов

Предложение первого порядка S в логике графов называется определение графа грамм если грамм единственный график, моделирующий S. Каждый граф может быть определен как минимум одним предложением; например, можно определить п-вершинный граф грамм приговором с п + 1 переменных, по одной для каждой вершины графа, и еще по одной, чтобы указать условие, что нет вершины, кроме п вершины графа. Дополнительные предложения предложения могут использоваться, чтобы гарантировать, что никакие две переменные вершины не равны, что каждое ребро грамм присутствует, и не существует ребра между парой несмежных вершин грамм. Однако для некоторых графов существуют значительно более короткие формулы, определяющие граф.^[10]

Несколько разных инварианты графа может быть определен из простейших предложений (с различными мерами простоты), которые определяют данный граф. В частности логическая глубина графа определяется как минимальный уровень вложенности кванторов ( ранг квантора ) в предложении, определяющем граф.^[11] Вышеупомянутое предложение содержит кванторы для всех своих переменных, поэтому оно имеет логическую глубину. п + 1. В логическая ширина графа - это минимальное количество переменных в предложении, которое его определяет.^[11] В предложении, приведенном выше, это количество переменных снова п + 1. Как логическая глубина, так и логическая ширина могут быть ограничены с точки зрения ширина дерева данного графа.^[12] Логическая длина, аналогично, определяется как длина кратчайшей формулы, описывающей граф.^[11] Описанное выше предложение имеет длину, пропорциональную квадрату числа вершин, но можно определить любой граф по формуле, длина которого пропорциональна количеству его ребер.

Все деревья и большинство графов могут быть описаны предложениями первого порядка только с двумя переменными, но расширенными путем подсчета предикатов. Для графов, которые можно описать предложениями в этой логике с фиксированным постоянным числом переменных, можно найти канонизация графа за полиномиальное время (с показателем степени полинома, равным количеству переменных). Сравнивая канонизации, можно решить проблема изоморфизма графов для этих графов за полиномиальное время.^[13]

Удовлетворенность

это неразрешимый может ли данное предложение первого порядка быть реализовано конечным неориентированным графом.^[14]

Существуют предложения первого порядка, которые моделируются бесконечными графами, но не конечными. Например, свойство иметь ровно одну вершину степень один, со всеми остальными вершинами, имеющими степень ровно два, может быть выражен предложением первого порядка. Он моделируется бесконечным луч, но нарушает лемма о рукопожатии для конечных графов. Однако из отрицательного решения Entscheidungsproblem (к Церковь Алонсо и Алан Тьюринг в 1930-е годы), что выполнимость предложений первого порядка для графов, которые не ограничиваются конечностью, остается неразрешимой. Также неразрешимо различать предложения первого порядка, которые истинны для всех графов, и те, которые истинны для конечных графов, но ложны для некоторых бесконечных графов.^[15]

Фиксированная точка

Наименьшая фиксированная точка основанная на графах логика расширяет логику графов первого порядка, допуская предикаты, определяемые специальными операторами с фиксированной точкой, которые определяют предикат как фиксированную точку формулы, которая связывает значения предиката с другими значениями того же предиката. Например, если ${\displaystyle C(u,v)}$ предикат, который определяет, соединены ли две вершины путем в данном графе, то ${\displaystyle C}$ наименьшая неподвижная точка формулы

${\displaystyle C(u,v)\leftarrow {\Bigl (}(u=v)\vee \exists w{\bigl (}C(u,w)\wedge w\sim v{\bigr )}{\Bigr )}}$

Это означает, что формула (с ее стрелкой, повернутой, чтобы стать импликацией) становится действительной импликацией и что пары вершин, для которых она истинна, являются подмножеством пар вершин, для которых истинна любая другая фиксированная точка той же формулы. В логике наименьшей фиксированной точки правая часть определяющей формулы должна использовать предикат только положительно (то есть каждое появление должно быть вложено в четное число отрицаний), чтобы сделать наименьшую фиксированную точку хорошо определенной. вариант, инфляционная логика с фиксированной точкой, формула не обязательно должна быть монотонной, но результирующая фиксированная точка определяется как полученная путем многократного применения импликаций, полученных из определяющей формулы, начиная с предиката `` все ложные ''. Другие варианты, допускающие отрицательные импликации или несколько одновременно -определенные предикаты также возможны, но не предоставляют дополнительных определяющих возможностей. предикат, определенный одним из этих способов, затем может быть применен к кортежу вершин ces как часть более крупной логической формулы.^[16]

Логика с фиксированной точкой и расширения этой логики, которые также позволяют подсчитывать целочисленные переменные, значения которых варьируются от 0 до количества вершин, использовались в описательная сложность в попытке дать логическое описание проблемы решения в теории графов, которая может быть решена в полиномиальное время. Фиксированная точка логической формулы может быть построена за полиномиальное время с помощью алгоритма, который многократно добавляет кортежи к набору значений, для которых предикат истинен, до достижения фиксированной точки, поэтому решение о том, может ли граф моделировать формулу в этой логике всегда решаться за полиномиальное время. Не каждое свойство полиномиального временного графика можно смоделировать с помощью формулы в логике, которая использует только фиксированные точки и подсчет.^[17][18] Однако для некоторых специальных классов графов свойства полиномиального времени такие же, как свойства, выражаемые в логике фиксированной точки с подсчетом. К ним относятся случайные графики,^[17][19] интервальные графики,^[17][20] и (через логическое выражение теорема о структуре графа ) каждый класс графов, характеризуемый запрещенные несовершеннолетние.^[17]

Второго порядка

в монадическая логика второго порядка В графах переменные представляют объекты до четырех типов: вершины, ребра, наборы вершин и наборы ребер. Существует два основных варианта логики монадических графов второго порядка: MSO₁ в котором разрешены только вершины и переменные набора вершин, а MSO₂ в котором разрешены все четыре типа переменных. Предикаты для этих переменных включают проверку равенства, проверку принадлежности и либо инцидентность вершины-ребра (если разрешены как вершинные, так и реберные переменные), либо смежность между парами вершин (если разрешены только вершинные переменные). Дополнительные варианты определения позволяют использовать дополнительные предикаты, такие как предикаты модульного подсчета.

Примеры

Например, возможность подключения неориентированного графа можно выразить в MSO₁ как утверждение, что для каждого разбиения вершин на два непустых подмножества существует ребро от одного подмножества к другому. Разбиение вершин можно описать подмножеством S вершин на одной стороне разбиения, и каждое такое подмножество должно либо описывать тривиальное разбиение (такое, в котором одна или другая сторона пуста), либо пересекаться ребром. То есть граф связан, когда он моделирует MSO₁ формула

${\displaystyle \forall S{\Bigl (}\forall x(x\in S)\vee \forall y{\bigl (}\lnot (y\in S){\bigr )}\vee \exists x\exists y{\bigl (}x\in S\wedge \lnot (y\in S)\wedge x\sim y{\bigr )}{\Bigr )}.}$

Однако связность не может быть выражена ни в логике графа первого порядка, ни в экзистенциальном MSO.₁ (в фрагмент MSO₁ в котором все кванторы набора экзистенциальны и встречаются в начале предложения), ни даже экзистенциальные MSO₂.^[21]

Гамильтоничность можно выразить в MSO₂ наличием набора ребер, которые образуют связный 2-регулярный граф на всех вершинах, со связностью, выраженной, как указано выше, и 2-регулярностью, выраженной как наличие двух, но не трех различных ребер в каждой вершине. Однако гамильтоничность не выражается в MSO₁, потому что MSO₁ не умеет различать полные двудольные графы с равным числом вершин на каждой стороне двудольного графа (которые являются гамильтоновыми) из несбалансированных полных двудольных графов (которые не являются).^[22]

Хотя не входит в определение MSO₂, ориентации неориентированных графов можно представить с помощью техники, включающей Деревья Тремо. Это позволяет также выразить другие свойства графа, включая ориентации.^[23]

Теорема Курселя

В соответствии с Теорема Курселя, каждый фиксированный MSO₂ свойство можно проверить за линейное время на графах ограниченного ширина дерева, и каждый фиксированный MSO₁ свойство можно проверить за линейное время на графах ограниченного ширина клики.^[24] Версия этого результата для графов с ограниченной шириной дерева также может быть реализована в логарифмическое пространство.^[25] Приложения этого результата включают управляемый алгоритм с фиксированными параметрами для вычисления номер перехода графа.^[26]

Теорема Зеезе

В проблема выполнимости для формулы монадической логики второго порядка является проблема определения, существует ли хотя бы один граф (возможно, в пределах ограниченного семейства графов), для которого формула верна. Для произвольных семейств графов и произвольных формул эта проблема неразрешимый. Однако выполнимость MSO₂ формула разрешима для графов ограниченной ширины дерева, и выполнимость MSO₁ формулы разрешима для графов ограниченной ширины клики. Доказательство включает использование теоремы Курселя для создания автомата, который может проверить свойство, а затем исследование автомата, чтобы определить, есть ли какой-либо граф, который он может принять.

В качестве частичного обратного Seese (1991) доказал, что всякий раз, когда семейство графов имеет разрешимый MSO₂ проблема выполнимости, семейство должно иметь ограниченную ширину дерева. Доказательство основано на теореме Робертсона и Сеймура о том, что семейства графов с неограниченной шириной дерева имеют сколь угодно большие сетка несовершеннолетние. Зее также предположил, что каждое семейство графов с разрешимым MSO₁ задача выполнимости должна иметь ограниченную ширину клики; это не было доказано, но это ослабление гипотезы, расширяющей MSO₁ с модульными предикатами подсчета верно.^[27]

Примечания

1. Спенсер (2001), Раздел 1.2, «Что такое теория первого порядка?», стр. 15–17.
2. Гольдберг (1993).
3. Гранджин (1983).
4. Шела и Спенсер (1988); Спенсер (2001).
5. Линч (1992).
6. Спенсер (1990).
7. Дауни и товарищи (1995).
8. Chen et al. (2006).
9. Нешетржил и Оссона де Мендес (2012), 18.3 Проблема изоморфизма подграфов и булевы запросы, стр. 400–401; Дворжак, Краень и Томас (2010); Grohe, Kreutzer и Siebertz (2014).
10. Пихурко, Спенсер и Вербицкий (2006).
11. Пихурко и Вербицкий (2011).
12. Вербицкий (2005).
13. Иммерман и Лендер (1990).
14. Парис (2014) пишет, что этот результат неразрешимости хорошо известен, и приписывает его Трахтенброт (1950) о неразрешимости выполнимости первого порядка для более общих классов конечных структур.
15. Лавров (1963).
16. Grohe (2017) С. 23–27.
17. Grohe (2017) С. 50–51.
18. Кай, Фюрер и Иммерман (1992).
19. Хелла, Колайтис и Луосто (1996).
20. Лаубнер (2010).
21. Фэджин, Стокмейер и Варди (1995).
22. Курсель и Энгельфриет (2012); Либкин (2004), Следствие 7.24, стр. 126–127.
23. Курсель (1996).
24. Курсель и Энгельфриет (2012).
25. Эльберфельд, Якоби и Тантау (2010).
26. Grohe (2001); Каварабаяши и Рид (2007).
27. Курсель и Оум (2007).

Рекомендации

• Цай, Цзинь-И; Фюрер, Мартин; Иммерман, Нил (1992), "Оптимальная нижняя граница числа переменных для идентификации графа", Комбинаторика, 12 (4): 389–410, Дои:10.1007 / BF01305232, МИСТЕР  1194730.
• Чен, Цзианэр; Хуан, Сючжэнь; Kanj, Iyad A .; Ся, Ге (2006), "Сильные нижние оценки вычислений с помощью параметризованной сложности", Журнал компьютерных и системных наук, 72 (8): 1346–1367, Дои:10.1016 / j.jcss.2006.04.007
• Курсель, Бруно (1996), «О выражении свойств графа в некоторых фрагментах монадической логики второго порядка» (PDF), в Иммерман, Нил; Колайтис, Фокион Г. (ред.), Proc. Descr. Сложный. Конечные модели, DIMACS, 31, Амер. Математика. Soc., Стр. 33–62, МИСТЕР  1451381.
• Курсель, Бруно; Энгельфриет, Джуст (2012), Структура графа и монадическая логика второго порядка: теоретико-языковой подход, Энциклопедия математики и ее приложений, 138, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9781139644006, Zbl  1257.68006.
• Курсель, Бруно; Оум, Санг-ил (2007), «Вершины-миноры, монадическая логика второго порядка и гипотеза Зее» (PDF), Журнал комбинаторной теории, Серия B, 97 (1): 91–126, Дои:10.1016 / j.jctb.2006.04.003, МИСТЕР  2278126.
• Дауни, Р. Г.; Стипендиаты, М. Р. (1995), "Управляемость и полнота с фиксированными параметрами. II. О полноте для W [1]", Теоретическая информатика, 141 (1–2): 109–131, Дои:10.1016/0304-3975(94)00097-3.
• Дворжак, Зденек; Кран, Даниэль; Томас, Робин (2010), «Определение свойств первого порядка для разреженных графов», Proc. 51-й ежегодный симпозиум IEEE по основам компьютерных наук (FOCS 2010), стр. 133–142, МИСТЕР  3024787.
• Эльберфельд, Майкл; Якоби, Андреас; Тантау, Тиль (октябрь 2010 г.), "Логпространственные версии теорем Бодлендера и Курселя" (PDF), Proc. 51-й ежегодный симпозиум IEEE по основам компьютерных наук (FOCS 2010), стр. 143–152, Дои:10.1109 / FOCS.2010.21.
• Феджин, Рональд (1976), «Вероятности на конечных моделях» (PDF), Журнал символической логики, 41 (1): 50–58, Дои:10,1017 / с0022481200051756, МИСТЕР  0476480.
• Феджин, Рональд; Стокмейер, Ларри Дж.; Варди, Моше Ю. (1995), "О монадической NP vs монадической ко-NP", Информация и вычисления, 120 (1): 78–92, Дои:10.1006 / инк.1995.1100, МИСТЕР  1340807.
• Глебский, Ю. V .; Коган, Д. И .; Лёгонький, М. И .; Таланов, В. А. (1969), "Объем и доля выполнимости формул нижнего исчисления предикатов", Отделение Математики, Механики и Кибернетики Академии Наук Украинской ССР: Кибернетика (2): 17–27, МИСТЕР  0300882.
• Голдберг, Лесли Энн (1993), "Алгоритмы полиномиального запаздывания в полиномиальном пространстве для перечисления семейств графов", Материалы двадцать пятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '93), Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM, стр. 218–225, Дои:10.1145/167088.167160, ISBN  0-89791-591-7.
• Гранжан, Этьен (1983), "Сложность теории первого порядка почти всех конечных структур", Информация и контроль, 57 (2–3): 180–204, Дои:10.1016 / S0019-9958 (83) 80043-6, МИСТЕР  0742707.
• Grohe, Мартин (2001), "Вычисление числа пересечений за квадратичное время", Материалы тридцать третьего ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '01), стр. 231–236, arXiv:cs / 0009010, Дои:10.1145/380752.380805.
• Grohe, Мартин (2017), Теория описательной сложности, канонизации и определимой структуры графов, Конспект лекций по логике, 47, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, ISBN  978-1-107-01452-7, МИСТЕР  3729479.
• Grohe, Мартин; Крейцер, Стефан; Сиберц, Себастьян (2014), "Определение свойств первого порядка нигде не плотных графов", Материалы 46-го ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '14), Нью-Йорк: ACM, стр. 89–98, arXiv:1311.3899, Дои:10.1145/2591796.2591851, ISBN  978-1-4503-2710-7.
• Хелла, Лаури; Колайтис, Phokion G .; Луосто, Керкко (1996), "Почти всюду эквивалентность логик в теории конечных моделей", Вестник символической логики, 2 (4): 422—443, Дои:10.2307/421173, МИСТЕР  1460316.
• Иммерман, Нил; Лендер, Эрик (1990), «Описание графов: подход первого порядка к канонизации графов», в Селман, Алан Л. (ред.), Ретроспектива теории сложности: в честь Юриса Хартманиса по случаю его шестидесятилетия, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 59–81, Дои:10.1007/978-1-4612-4478-3_5, МИСТЕР  1060782.
• Лавров, И. А. (1963), "Эффективная неразделимость множества тождественно истинных формул и множества конечно опровержимых формул для некоторых элементарных теорий", Алгебра и логика сем., 2 (1): 5–18, МИСТЕР  0157904
• Каварабаяси, Кен-ичи; Рид, Брюс (2007), «Вычисление числа пересечений за линейное время», Материалы тридцать девятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '07), стр.382–390, г. Дои:10.1145/1250790.1250848.
• Лаубнер, Бастиан (2010), «Захват полиномиального времени на интервальных графах», 25-й ежегодный симпозиум IEEE по логике в компьютерных науках (LICS 2010), Лос-Аламитос, Калифорния: Компьютерное общество IEEE, стр. 199–208, arXiv:0911.3799, Дои:10.1109 / LICS.2010.42, МИСТЕР  2963094.
• Либкин, Леонид (2004), Элементы теории конечных моделей, Тексты по теоретической информатике: серия EATCS, Springer-Verlag, Берлин, Дои:10.1007/978-3-662-07003-1, ISBN  3-540-21202-7, МИСТЕР  2102513.
• Линч, Джеймс Ф. (1992), "Вероятности предложений об очень разреженных случайных графах", Случайные структуры и алгоритмы, 3 (1): 33–53, Дои:10.1002 / RSA.3240030105, МИСТЕР  1139487.
• Нешетржил, Ярослав; Оссона де Мендес, Патрис (2012), Разреженность: графики, структуры и алгоритмы, Алгоритмы и комбинаторика, 28, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-27875-4, HDL:10338.dmlcz / 143192, ISBN  978-3-642-27874-7, МИСТЕР  2920058.
• Парис, Павел (2014), «Логика первого порядка на графиках CPDA», Информатика - теория и приложения, Конспект лекций по информатике, 8476, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 300–313, Дои:10.1007/978-3-319-06686-8_23, МИСТЕР  3218557.
• Пихурко Олег; Спенсер, Джоэл; Вербицкий, Олег (2006), "Краткие определения в теории графов первого порядка", Анналы чистой и прикладной логики, 139 (1–3): 74–109, arXiv:математика / 0401307, Дои:10.1016 / j.apal.2005.04.003, МИСТЕР  2206252.
• Пихурко Олег; Вербицкий, Олег (2011), «Логическая сложность графов: обзор», в сб. Grohe, Мартин; Маковски, Иоганн А. (ред.), Теоретико-модельные методы в конечной комбинаторике (Совместная специальная сессия AMS-ASL, 5-8 января 2009 г., Вашингтон, округ Колумбия), Современная математика, 558, Американское математическое общество, стр. 129–180..
• Сизе, Д. (1991), "Структура моделей разрешимых монадических теорий графов", Анналы чистой и прикладной логики, 53 (2): 169–195, Дои:10.1016 / 0168-0072 (91) 90054-П, МИСТЕР  1114848.
• Шела, Сахарон; Спенсер, Джоэл (1988), "Законы нуля или единицы для разреженных случайных графов", Журнал Американского математического общества, 1 (1): 97–115, Дои:10.2307/1990968, МИСТЕР  0924703.
• Спенсер, Джоэл (1990), «Бесконечные спектры в теории графов первого порядка», Комбинаторика, 10 (1): 95–102, Дои:10.1007 / BF02122699, МИСТЕР  1075070.
• Спенсер, Джоэл (2001), Странная логика случайных графов, Алгоритмы и комбинаторика, 22, Springer-Verlag, Берлин, Дои:10.1007/978-3-662-04538-1, ISBN  3-540-41654-4, МИСТЕР  1847951.
• Трахтенброт, Б.А. (1950), «Невозможность алгоритма решения проблемы для конечных областей», Доклады Академии Наук СССР (Н.С.), 70: 569–572, МИСТЕР  0033784.
• Вербицкий, Олег (2005), "Определимость первого порядка графов с разделителями через игру Эренфойхта", Теоретическая информатика, 343 (1–2): 158–176, Дои:10.1016 / j.tcs.2005.05.003, МИСТЕР  2168849.