Теорема Лохсса - Lochss theorem

В теория чисел, Теорема Лохса это теорема о скорости сходимости непрерывная дробь расширение типичного действительного числа. Доказательство теоремы опубликовал Густав Лохс в 1964 г.[1]

Теорема утверждает, что для почти все действительные числа в интервале (0,1), количество членов м раскрытия непрерывной дроби числа, которые необходимы для определения первого п места десятичного разложения числа ведет себя асимптотически следующее:

(последовательность A086819 в OEIS ).[2]

Поскольку этот предел лишь немного меньше 1, это можно интерпретировать как утверждение, что каждый дополнительный член в представлении непрерывной дроби «типичного» действительного числа увеличивает точность представления примерно на один десятичный разряд. В десятичный система последняя позиционная система для которых каждая цифра несет меньше информации, чем одно частное непрерывной дроби; собирается база-11 (изменение к в уравнении) делает указанное выше значение больше 1.

Величина, обратная этому пределу,

(последовательность A062542 в OEIS ),

является дважды десятичным логарифмом Постоянная Леви.

График зависимости количества коэффициентов непрерывной дроби от количества десятичных цифр для трех «типичных» случайных чисел, демонстрирующих типичное поведение, в отличие от золотого сечения, которое требует заметно большего числа коэффициентов на цифру.
Три типичных числа и Золотое сечение. Типичные числа следуют линии примерно под 45 °, так как каждый коэффициент непрерывной дроби дает примерно одну десятичную цифру. С другой стороны, золотое сечение - это число, требующее наибольшего количества коэффициентов для каждой цифры.

Ярким примером числа, не демонстрирующего такого поведения, является Золотое сечение - иногда известный как "самый иррациональный "число, в котором все члены непрерывной дроби представляют собой единицы, наименьшее возможное в канонической форме. В среднем требуется приблизительно 2,39 членов непрерывной дроби на одну десятичную цифру.[3]

Рекомендации

  1. ^ Лохс, Густав (1964), "Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на немецком), 27: 142–144, Дои:10.1007 / BF02993063, МИСТЕР  0162753
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Лохса». MathWorld.
  3. ^ Купер, Гарольд. «Непрерывные потоки фракций». Получено 30 августа 2016.