Теорема Лохсса - Lochss theorem

В теория чисел, Теорема Лохса это теорема о скорости сходимости непрерывная дробь расширение типичного действительного числа. Доказательство теоремы опубликовал Густав Лохс в 1964 г.^[1]

Теорема утверждает, что для почти все действительные числа в интервале (0,1), количество членов м раскрытия непрерывной дроби числа, которые необходимы для определения первого п места десятичного разложения числа ведет себя асимптотически следующее:

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {m} {n}} = { frac {6 ln (2) ln (10)} { pi ^ {2}}} примерно 0,97027014}

(последовательность A086819 в OEIS ).^[2]

Поскольку этот предел лишь немного меньше 1, это можно интерпретировать как утверждение, что каждый дополнительный член в представлении непрерывной дроби «типичного» действительного числа увеличивает точность представления примерно на один десятичный разряд. В десятичный система последняя позиционная система для которых каждая цифра несет меньше информации, чем одно частное непрерывной дроби; собирается база-11 (изменение ${ Displaystyle ln (10)}$ к ${ Displaystyle ln (11)}$ в уравнении) делает указанное выше значение больше 1.

Величина, обратная этому пределу,

{ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {6 ln (2) ln (10)}} приблизительно 1.03064083}

(последовательность A062542 в OEIS ),

является дважды десятичным логарифмом Постоянная Леви.

Три типичных числа и Золотое сечение. Типичные числа следуют линии примерно под 45 °, так как каждый коэффициент непрерывной дроби дает примерно одну десятичную цифру. С другой стороны, золотое сечение - это число, требующее наибольшего количества коэффициентов для каждой цифры.

Ярким примером числа, не демонстрирующего такого поведения, является Золотое сечение - иногда известный как "самый иррациональный "число, в котором все члены непрерывной дроби представляют собой единицы, наименьшее возможное в канонической форме. В среднем требуется приблизительно 2,39 членов непрерывной дроби на одну десятичную цифру.^[3]

Теорема Лохсса - Lochss theorem

Рекомендации