Список периодических функций - List of periodic functions

Этот список неполный; вы можете помочь добавление недостающих предметов с надежные источники.

Это список некоторых хорошо известных периодические функции. Постоянная функция ж(Икс) = c, куда c не зависит от Икспериодичен с любым периодом, но не имеет основной период. Дается определение для некоторых из следующих функций, хотя каждая функция может иметь много эквивалентных определений.

Тригонометрические функции

Все перечисленные тригонометрические функции имеют точку ${\displaystyle 2\pi }$, если не указано иное. Для следующих тригонометрических функций:

U_п это пth номер вверх / вниз,

B_п это пth Число Бернулли

Имя	Символ	Формула [nb 1]	Ряд Фурье
Синус	${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$	${\displaystyle \sin(x)}$
cas (математика)	${\displaystyle \operatorname {cas} (x)}$	${\displaystyle \sin(x)+\cos(x)}$	${\displaystyle \sin(x)+\cos(x)}$
Косинус	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$	${\displaystyle \cos(x)}$
цис (математика)	${\displaystyle e^{ix},\operatorname {cis} (x)}$	cos (Икс) + я грех (Икс)	${\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}$
Касательная	${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$	${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\sin(2nx)}$ [1]
Котангенс	${\displaystyle \cot(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}}$	${\displaystyle i+2i\sum _{n=1}^{\infty }(\cos 2nx-i\sin 2nx)}$[нужна цитата ]
Секант	${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}}$	-
Косеканс	${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}}$	-
Exsecant	${\displaystyle \operatorname {exsec} (x)}$	${\displaystyle \sec(x)-1}$	-
Excosecant	${\displaystyle \operatorname {excsc} (x)}$	${\displaystyle \csc(x)-1}$	-
Версина	${\displaystyle \operatorname {versin} (x)}$	${\displaystyle 1-\cos(x)}$	${\displaystyle 1-\cos(x)}$
Веркозин	${\displaystyle \operatorname {vercosin} (x)}$	${\displaystyle 1+\cos(x)}$	${\displaystyle 1+\cos(x)}$
Coversine	${\displaystyle \operatorname {coversin} (x)}$	${\displaystyle 1-\sin(x)}$	${\displaystyle 1-\sin(x)}$
Covercosine	${\displaystyle \operatorname {covercosin} (x)}$	${\displaystyle 1+\sin(x)}$	${\displaystyle 1+\sin(x)}$
Гаверсин	${\displaystyle \operatorname {haversin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos(x)}$
Гаверкозин	${\displaystyle \operatorname {havercosin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(x)}$
Хаковерсин	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1-\sin(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(x)}$
Гаковеркозин	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1+\sin(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sin(x)}$
Величина синусоиды с амплитудой A и периодом T	-	${\displaystyle A|\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)|}$	${\displaystyle {\frac {4A}{2\pi }}+\sum _{n\,\mathrm {even} }{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}\cos({\frac {2\pi n}{T}}x)}$ [2]:п. 193

Синусоподобные функции

• Трохоид
• Циклоида
• Функция Clausen

Негладкие функции

Следующие функции имеют точку ${\displaystyle p}$ и возьми ${\displaystyle x}$ как их аргумент. Символ ${\displaystyle \lfloor n\rfloor }$ это функция пола из ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ это функция знака.

Имя	Формула	Ряд Фурье	Примечания
Треугольная волна	${\displaystyle {\frac {4}{p}}\left(x-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}$	${\displaystyle {\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)}$	прерывная первая производная
Пилообразная волна	${\displaystyle 2\left({\frac {x}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {x}{p}}\right\rfloor \right)}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sin \left({\frac {2n\pi x}{p}}\right)}$	прерывистый
Квадратная волна	${\displaystyle \operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi x}{p}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {1}{n}}\sin \left({\frac {2n\pi x}{p}}\right)}$	прерывистый
Циклоида	${\displaystyle {\frac {p-p\cos \left(f^{(-1)}\left({\frac {2\pi x}{p}}\right)\right)}{2\pi }}}$ данный ${\displaystyle f(x)=x-\sin(x)}$ и ${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$ является его действительный обратный.	-	прерывная первая производная
Пульсовая волна	${\displaystyle H\left(\cos \left({\frac {2\pi x}{p}}\right)-\cos \left({\frac {\pi t}{p}}\right)\right)}$ куда ЧАС это Ступенчатая функция Хевисайда t - как долго пульс остается на 1	${\displaystyle {\frac {t}{p}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n\pi }}\sin \left({\frac {\pi nt}{p}}\right)\cos \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)}$	прерывистый

Следующие функции также не являются гладкими:

• Касательная (не непрерывно)
• Котангенс
• Секант
• Косеканс
• Exsecant
• Excosecant

Векторозначные функции

• Эпитрохоид
• Эпициклоида (частный случай эпитрохоида)
• Лимасон (частный случай эпитрохоида)
• Гипотрохоид
• Гипоциклоида (частный случай гипотрохоида)
• Спирограф (частный случай гипотрохоида)

Двояко периодические функции

• Эллиптические функции Якоби
• Эллиптическая функция Вейерштрасса

Примечания

1. Формулы даны как ряды Тейлора или получены из других записей.

1. http://web.mit.edu/jorloff/www/18.03-esg/notes/fourier-tan.pdf
2. Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg + Teubner Verlag. ISBN  978-3834807571.