Трохоидный - Trochoid

Для сустава см. Шарнирное соединение.

А циклоида (обычный трохоид), образованный катящимся кругом

В геометрия, а трохоидный (от Греческий слово для колеса, "трохо") рулетка сформированный круг катится по линия. Другими словами, это кривая отслеживается точкой, прикрепленной к кругу (где точка может быть внутри, внутри или за пределами круга), когда он катится по прямой линии.^[1] Если точка находится на окружности, трохоида называется общий (также известный как циклоида ); если точка находится внутри круга, трохоида резать; а если точка находится вне круга, трохоида вытянутый. Слово «трохоид» было придумано Жиль де Роберваль.^{[нужна цитата ]}

Основное описание

Вытянутый трохоид с б/а = 5/4

Кратковременный трохоид с б/а = 4/5

Как круг радиуса а катится без скольжения по леске L, центр C движется параллельно L, и все остальные п Во вращающейся плоскости, жестко прикрепленной к окружности, прослеживается кривая, называемая трохоидой. Позволять CP = b. Параметрические уравнения трохоида, для которого L ось абсцисс

${\displaystyle x=a\theta -b\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle y=a-b\cos(\theta )\,}$

где θ - переменный угол, на который катится круг.

Куртатный, общий, вытянутый

Если п лежит внутри круга (б < а), по его окружности (б = а) или снаружи (б > а) трохоид описывается как куртируемый («сокращенный»), общий или вытянутый («расширенный»), соответственно.^[2] Курчавая трохоида отслеживается педалью, когда велосипед с нормальной передачей вращается по прямой.^[3] А вытянутый трохоида отслеживается кончиком весла, когда лодка движется с постоянной скоростью гребными колесами; эта кривая содержит петли. Обычный трохоид, также называемый циклоида, имеет куспиды в точках, где п касается L.

Общее описание

При более общем подходе трохоид определяется как локус точки ${\displaystyle (x,y)}$ вращающийся по орбите с постоянной скоростью вокруг оси, расположенной на ${\displaystyle (x',y')}$,

${\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,}$

какая ось переводится в х-у-самолет с постоянной скоростью в либо прямая линия,

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}}$

или круговой путь (другая орбита) вокруг ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ (в гипотрохоид /эпитрохоид кейс),

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}}$

Соотношение скоростей движения и то, перемещается ли движущаяся ось по прямой или по круговой траектории, определяет форму трохоиды. В случае прямого пути один полный оборот совпадает с одним периодом периодический (повторяющийся) локус. В случае круговой траектории движущейся оси геометрическое место является периодическим, только если отношение этих угловых движений, ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$, является рациональным числом, скажем ${\displaystyle p/q}$, где ${\displaystyle p}$ & ${\displaystyle q}$ находятся совмещать, в этом случае один период состоит из ${\displaystyle p}$ орбиты вокруг движущейся оси и ${\displaystyle q}$ орбиты движущейся оси вокруг точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Особые случаи эпициклоида и гипоциклоида, созданный путем отслеживания геометрического места точки на периметре окружности радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ пока он катится по периметру неподвижного круга радиуса ${\displaystyle R}$, обладают следующими свойствами:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cusps}}\\{\text{hypocycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cusps}}\end{array}}}$

где ${\displaystyle r_{2}}$ - радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество бугров также справедливо для любого эпитрохоида и гипотрохоида, при этом «бугорки» заменены либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами».

Смотрите также

• Брахистохрона
• Циклогон
• Циклоида
• Эпитрохоид
• Гипотрохоид
• Список периодических функций
• Рулетка (кривая)
• Спирограф
• Трохоидальная волна

использованная литература

1. Вайсштейн, Эрик В. «Трохоид». MathWorld.
2. «Трохоид». Xah Math. Получено 4 октября, 2014.
3. https://www.youtube.com/watch?v=aJhiY70KY5o

внешние ссылки

• Онлайн-эксперименты с трохоидом с использованием JSXGraph