Теория Линдхарда - Lindhard theory

Теория Линдхарда,^[1][2] назван в честь датского профессора Йенса Линдхарда,^[3][4] это метод расчета эффектов экранирование электрического поля электронами в твердом теле. Он основан на квантовой механике (теория возмущений первого порядка) и приближение случайной фазы.

Скрининг Томаса – Ферми может быть получен как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса – Ферми является пределом формулы Линдхарда, когда волновой вектор (величина, обратная интересующему масштабу длины) намного меньше волнового вектора Ферми, то есть предел больших расстояний.^[2]

В этой статье используется cgs-гауссовские единицы.

Формула

Формула Линдхарда для продольного диэлектрическая функция дан кем-то

${\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{k-q}-E_{k}}}.}$

Здесь, ${\displaystyle \delta }$ положительная бесконечно малая постоянная, ${\displaystyle V_{q}}$ является ${\displaystyle V_{\text{eff}}(q)-V_{\text{ind}}(q)}$ и ${\displaystyle f_{k}}$ - функция распределения носителей, которая является Функция распределения Ферми – Дирака для электронов в термодинамическом равновесии, однако эта формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.

Анализ формулы Линдхарда

Чтобы понять формулу Линдхарда, рассмотрим некоторые предельные случаи в 2-х и 3-х измерениях. Одномерный случай рассматривается и по-другому.

Три измерения

Предел длинных волн

Во-первых, рассмотрим длинноволновый предел (${\displaystyle q\to 0}$).

Для знаменателя формулы Линдхарда получаем

${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$,

а для числителя формулы Линдхарда получаем

${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$.

Подставляя их в формулу Линдхарда и принимая ${\displaystyle \delta \to 0}$ предел, получаем

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\end{alignedat}}}$,

где мы использовали ${\displaystyle E_{k}=\hbar \omega _{k}}$, ${\displaystyle V_{q}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}}$ и ${\displaystyle \omega _{pl}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}}$.

(В единицах СИ заменить множитель ${\displaystyle 4\pi }$ к ${\displaystyle 1/\epsilon _{0}}$.)

Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.

Статический предел

Во-вторых, рассмотрим статический предел (${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$Формула Линдхарда принимает вид

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$.

Подставляя указанные выше равенства для знаменателя и числителя, получаем

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$.

Предполагая тепловое равновесное распределение носителей Ферми – Дирака, получаем

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$

здесь мы использовали ${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$.

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}}$

Здесь, ${\displaystyle \kappa }$ - волновое число трехмерного экранирования (обратная длина трехмерного экранирования), определяемое как ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}}$.

Тогда трехмерный статически экранированный кулоновский потенциал имеет вид

${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}}$.

И преобразование Фурье этого результата дает

${\displaystyle V_{s}(r)=\sum _{q}{{\frac {4\pi e^{2}}{L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i{\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {e^{2}}{r}}e^{-\kappa r}}$

известный как Потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом преобразовании Фурье, которое в основном представляет собой сумму по все ${\displaystyle {\vec {q}}}$, мы использовали выражение для малых ${\displaystyle |{\vec {q}}|}$ за каждый значение ${\displaystyle {\vec {q}}}$ что неверно.

Статически экранированный потенциал (верхняя криволинейная поверхность) и кулоновский потенциал (нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях

Для выродившегося Ферми газ (Т= 0), Энергия Ферми дан кем-то

${\displaystyle E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}}$,

Так что плотность

${\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}}$.

В Т=0, ${\displaystyle E_{\rm {F}}\equiv \mu }$, так ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}}$.

Подставляя это в приведенное выше уравнение трехмерного экранирующего волнового числа, мы получаем

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}}$.

Это 3D Скрининг Томаса – Ферми волновое число.

Для справки, Скрининг Дебая-Хюккеля описывает невырожденный предельный случай. Результат ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}}$, трехмерное экранирующее волновое число Дебая – Хюккеля.

Два измерения

Предел длинных волн

Во-первых, рассмотрим длинноволновый предел (${\displaystyle q\to 0}$).

Для знаменателя формулы Линдхарда

${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$,

а для числителя

${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$.

Подставляя их в формулу Линдхарда и принимая предел ${\displaystyle \delta \to 0}$, мы получаем

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$

где мы использовали ${\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}}$, ${\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$ и ${\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$.

Статический предел

Во-вторых, рассмотрим статический предел (${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$Формула Линдхарда принимает вид

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$.

Подставляя указанные выше равенства для знаменателя и числителя, получаем

${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$.

Предполагая тепловое равновесное распределение носителей Ферми – Дирака, получаем

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$

здесь мы использовали ${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$.

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}$

${\displaystyle \kappa }$ 2D экранирующее волновое число (2D обратная экранирующая длина), определяемое как ${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$.

Тогда двумерный статически экранированный кулоновский потенциал имеет вид

${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}$.

Известно, что химический потенциал 2-мерный ферми-газ дан кем-то

${\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}}$,

и ${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}$.

Итак, 2D экранирующее волновое число

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.}$

Обратите внимание, что этот результат не зависит от п.

Одно измерение

На этот раз рассмотрим некоторый обобщенный случай уменьшения размерности. Чем меньше размер, тем слабее эффект экранирования. В меньшем измерении некоторые силовые линии проходят через материал барьера, при этом экранирование не оказывает никакого влияния. Для одномерного В этом случае мы можем предположить, что экранирование влияет только на силовые линии, расположенные очень близко к оси провода.

Эксперимент

В реальном эксперименте мы также должны учитывать эффект объемного трехмерного экранирования, даже если мы имеем дело с одномерным случаем, как с одиночной нитью. Экранирование Томаса – Ферми было применено к электронному газу, ограниченному нитью накала и коаксиальным цилиндром.^[5] Для K₂Pt (CN)₄Cl_0.32· 2.6H₂0 было обнаружено, что потенциал в области между нитью и цилиндром изменяется как ${\displaystyle e^{-k_{\rm {eff}}r}/r}$ а его эффективная длина экрана примерно в 10 раз больше, чем у металлических платина.^[5]

Смотрите также

• Аномалия Кона
• Померанчуковская нестабильность

Рекомендации

1. Линдхард, Йенс (1954). «О свойствах газа заряженных частиц» (PDF). Danske Matematisk-fysiske Meddeleiser. 28 (8): 1–57. Получено 2016-09-28.
2. Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976 г.)
3. Андерсен, Йенс Ульрик; Зигмунд, Питер (сентябрь 1998 г.). "Йенс Линдхард". Физика сегодня. 51 (9): 89–90. Bibcode:1998ФТ .... 51и..89А. Дои:10.1063/1.882460. ISSN  0031-9228.
4. Смит, Хенрик (1983). «Функция Линдхарда и обучение физике твердого тела». Physica Scripta. 28 (3): 287–293. Bibcode:1983ФИЗЫ ... 28..287S. Дои:10.1088/0031-8949/28/3/005. ISSN  1402-4896.
5. Дэвис, Д. (1973). «Скрининг Томаса-Ферми в одном измерении». Физический обзор B. 7 (1): 129–135. Bibcode:1973ПхРвБ ... 7..129Д. Дои:10.1103 / PhysRevB.7.129.

Общий

• Хауг, Хартмут; В. Кох, Стефан (2004). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников (4-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN  978-981-238-609-0.