Предел Лапласа - Laplace limit

В математика, то Предел Лапласа это максимальное значение эксцентриситет для которого решение уравнения Кеплера в терминах степенного ряда по эксцентриситету сходится. Это примерно

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

Уравнение Кеплера M = E - ε sinE связывает средняя аномалия M с эксцентрическая аномалия E для тела, движущегося в эллипс с эксцентриситетом ε. Это уравнение не может быть решено для E с точки зрения элементарные функции, но Теорема возврата Лагранжа дает решение как степенной ряд по ε:

${\displaystyle E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots }$

или вообще^[1][2]

${\displaystyle E=M\;+\;\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\varepsilon ^{n}}{2^{n-1}\,n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\,{\binom {n}{k}}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)}$

Лаплас понял, что этот ряд сходится при малых значениях эксцентриситета, но расходится при любом значении M кроме кратного π, если эксцентриситет превышает определенное значение, которое не зависит от M. Предел Лапласа и есть это значение. Это радиус схождения степенного ряда.

Он задается решением уравнения:

${\displaystyle {\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1}$

Смотрите также

• Орбитальный эксцентриситет

Рекомендации

1. Финч (2003), §4.8
2. Моултон (1914), §99

• Финч, Стивен Р. (2003), "Предел Лапласа", Математические константы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-81805-6.
• Моултон, Форест Р. (1914), "V. Проблема двух тел", Введение в небесную механику (2-е изд.), MacMillan.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Предел Лапласа». MathWorld.
• OEIS последовательность A033259 (десятичное разложение предельной константы Лапласа)