Теорема возврата Лагранжа - Lagrange reversion theorem

О реверсе серий см. Теорема обращения Лагранжа.

В математика, то Теорема возврата Лагранжа дает серии или же формальный степенной ряд расширения некоторых неявно определенные функции; действительно, композиций с такими функциями.

Позволять v быть функцией Икс и у с точки зрения другой функции ж такой, что

${\displaystyle v=x+yf(v)}$

Тогда для любой функции грамм, для достаточно маленьких у:

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right).}$

Если грамм это личность, это становится

${\displaystyle v=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}\right).}$

В 1770 г. Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) опубликовал свое решение степенного ряда неявного уравнения для v упомянутый выше. Однако в его решении использовались громоздкие разложения логарифмов в ряд.^[1][2] В 1780 г. Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) опубликовал более простое доказательство теоремы, основанное на соотношениях между частными производными по переменной x и параметру y.^[3][4][5] Чарльз Эрмит (1822–1901) представили наиболее прямое доказательство теоремы с помощью контурного интегрирования.^[6][7][8]

Теорема возврата Лагранжа используется для получения численных решений Уравнение Кеплера.

Простое доказательство

Начнем с написания:

${\displaystyle g(v)=\int \delta (yf(z)-z+x)g(z)(1-yf'(z))\,dz}$

Записав дельта-функцию в виде интеграла, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\iint \exp(ik[yf(z)-z+x])g(z)(1-yf'(z))\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\iint {\frac {(ikyf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(x-z)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\iint {\frac {(yf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(x-z)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\end{aligned}}}$

Интеграл по k затем дает ${\displaystyle \delta (x-z)}$ и у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}$

Преобразование суммы и отмена дает результат:

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)}$

Рекомендации

1. Лагранж, Жозеф Луи (1770) «Новый метод для получения знаний по литературным знаниям в соответствии с моей жизнью», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, т. 24, страницы 251–326. (Доступно в Интернете по адресу: [1] .)
2. Лагранж, Жозеф Луи, Oeuvres, [Париж, 1869], Vol. 2, стр. 25; Vol. 3, страницы 3–73.
3. Лаплас, Пьер Симон де (1777) «Воспоминания о расчётах о различиях в частностях в теориях люксов», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, т. , страницы 99–122.
4. Лаплас, Пьер Симон де, Oeuvres [Париж, 1843], Vol. 9, страницы 313–335.
5. Доказательство Лапласа представлено в:
   • Гурса, Эдуард, Курс математического анализа (перевод Э. Р. Хедрика и О. Дункеля) [Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер, 1959], Vol. I, страницы 404–405.
6. Эрмит, Чарльз (1865) "Sur quelques développements en série de fonctions de plusieurs variables", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences des Paris, т. 60, страницы 1–26.
7. Эрмит, Чарльз, Oeuvres [Париж, 1908], Vol. 2, страницы 319–346.
8. Доказательство Эрмита представлено в:
   • Гурса, Эдуард, Курс математического анализа (перевод Э. Р. Хедрика и О. Дункеля) [Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер, 1959], Vol. II, Часть 1, страницы 106–107.
   • Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон, Курс современного анализа, 4-е изд. [Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1962] стр. 132–133.

внешняя ссылка

• Теорема об обращении [обращении] Лагранжа на MathWorld
• Расширение Корниш – Фишера, приложение теоремы
• Статья на уравнение времени содержит приложение к уравнению Кеплера.