Полюс Ландау - Landau pole

Основная статья: Квантовая тривиальность

В физика, то Полюс Ландау (или Москва ноль, или Призрак Ландау)^[1] это масштаб импульса (или энергии) на котором константа связи (сила взаимодействия) квантовая теория поля становится бесконечным. На такую ​​возможность указал физик. Лев Ландау и его коллеги.^[2] Тот факт, что связи зависят от масштаба импульса (или длины), является центральной идеей, лежащей в основе ренормгруппа.

Полюса Ландау появляются в теориях, которые не асимптотически свободный, такие как квантовая электродинамика (QED) или φ⁴ теория - а скалярное поле с четвертое взаимодействие - так, как можно описать бозон Хиггса. В этих теориях ренормированная константа связи растет с энергией. Полюс Ландау появляется, когда связь становится бесконечной при конечном масштабе энергии. В теории, претендующей на полноту, это можно рассматривать как математическое несоответствие. Возможное решение состоит в том, что перенормированный заряд может упасть до нуля при удалении обрезания, что означает, что заряд полностью экранирован квантовыми флуктуациями (поляризация вакуума ). Это случай квантовая тривиальность,^[3] что означает, что квантовые поправки полностью подавляют взаимодействия в отсутствие обрезания.

Поскольку полюс Ландау обычно идентифицируется через пертурбативный однопетлевые или двухпетлевые расчеты, возможно, что полюс является просто признаком того, что пертурбативное приближение не работает при сильной связи. Теория возмущений также может быть неверной, если неадиабатические состояния существует. Решеточная калибровочная теория предоставляет средства для решения вопросов квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений, и, таким образом, был использован для попытки решить этот вопрос.

Численные расчеты, выполненные в этой структуре, по-видимому, подтверждают вывод Ландау о том, что заряд КЭД полностью экранирован для бесконечного обрезания.^[4][5][6][7]

Краткая история

По словам Ландау, Абрикосов, и Халатников,^[8] отношение наблюдаемого заряда г_{Наблюдения} на «голую» зарядку г₀ для перенормируемых теорий поля, когда Λ ≫ м дан кем-то

${\displaystyle g_{\text{obs}}={\frac {g_{0}}{1+\beta _{2}g_{0}\ln \Lambda /m}}\qquad \qquad \qquad (1)}$

где м - масса частицы и Λ - отсечка импульса. Если г₀ < ∞ и Λ → ∞ тогда г_{Наблюдения} → 0 и теория выглядит тривиальной. Фактически, инвертируя уравнение 1, так что г₀ (в зависимости от масштаба Λ⁻¹) показывает точное значение г_{Наблюдения},

${\displaystyle g_{0}={\frac {g_{\text{obs}}}{1-\beta _{2}g_{\text{obs}}\ln \Lambda /m}}.\qquad \qquad \qquad (2)}$

Так как Λ растет, голый заряд г₀ = г(Λ) увеличивается, чтобы окончательно расходиться в точке перенормировки

${\displaystyle \Lambda _{\text{Landau}}=m\exp \left\{{\frac {1}{\beta _{2}g_{\text{obs}}}}\right\}.\qquad \qquad \qquad (3)}$

Эта особенность - Полюс Ландау с отрицательный остаток,   г(Λ) ≈ −Λ_Ландо /(β₂(Λ - Λ_Ландо)).

На самом деле, однако, рост г₀ делает недействительными уравнения 1,2 в области г₀ ≈ 1, поскольку они были получены для г₀ ≪ 1, так что непертурбативное существование полюса Ландау становится сомнительным.

Фактическое поведение заряда г(μ) как функция масштаба импульса μ определяется Гелл-Манн –Низкий уравнение^[9]

${\displaystyle {\frac {dg}{d\ln \mu }}=\beta (g)=\beta _{2}g^{2}+\beta _{3}g^{3}+\ldots \qquad \qquad \qquad (4)}$

что дает уравнения 1,2, если его проинтегрировать в условиях г(μ) = г_{Наблюдения} для μ = м и г(μ) = г₀ для μ = Λ, когда только термин с β₂ сохраняется в правой части. Общее поведение г(μ) зависит от внешнего вида функции β(г).

По классификации Боголюбова и Ширкова,^[10] Есть три качественно разных случая:

• (а) если β(г) имеет нуль при конечном значении г^∗, то рост г насыщен, т.е. г(μ) → г^∗ для μ → ∞;
• (б) если β(г) не чередуется и ведет себя как β(г) ∝ г^α с участием α ≤ 1 для больших г, то рост г(μ) продолжается до бесконечности;
• (c) если β(г) ∝ г^α с участием α > 1 для больших г, тогда г(μ) расходится при конечном значении μ₀ и возникает настоящий полюс Ландау: теория внутренне противоречива из-за неопределенности г(μ) для μ > μ₀.

Ландау и Померанчук ^[11] пытался оправдать возможность (c) в случае QED и φ⁴ теория. Они отметили, что рост г₀ в уравнении 1 управляет наблюдаемым зарядом г_{Наблюдения} к постоянному пределу, не зависящему от г₀. Такое же поведение можно получить с помощью функциональных интегралов, исключив квадратичные члены в действии. Если пренебрежение квадратичными членами справедливо уже для г₀ ≪ 1, это тем более верно для г₀ порядка или больше единицы: это дает основание считать уравнение 1 справедливым для произвольных г₀. Справедливость этих соображений на количественном уровне исключается неквадратичной формой β-функция.^{[нужна цитата ]}

Тем не менее качественно их можно исправить. Действительно, результат г_{Наблюдения} = const (г₀) можно получить из функциональных интегралов только при г₀ ≫ 1, а его справедливость для г₀ ≪ 1на основании уравнения 1 может быть связано с другими причинами; для г₀ ≈ 1 этот результат, вероятно, нарушен, но совпадение двух постоянных значений по порядку величины можно ожидать из условия согласования. В Монте-Карло Результаты ^[12] кажется, подтверждает качественную справедливость аргументов Ландау – Померанчука, хотя возможна и другая интерпретация.

Случай (c) в классификации Боголюбова и Ширкова соответствует квантовая тривиальность в полной теории (вне контекста возмущений), как можно увидеть сокращение до абсурда. Действительно, если г_{Наблюдения} < ∞, теория внутренне противоречива. Единственный способ избежать этого - это μ₀ → ∞, что возможно только для г_{Наблюдения} → 0. Это широко распространенное мнение^{[кем? ]} что и QED, и φ⁴ теории тривиальны в континуальном пределе.

Феноменологические аспекты

В теории, предназначенной для представления физического взаимодействия, где известно, что константа связи отлична от нуля, полюсы Ландау или тривиальность могут рассматриваться как признак неполноты теории. Например, в QED обычно не верят.^{[кем? ]} быть законченной теорией сама по себе и содержать полюс Ландау. Обычно QED является частью более фундаментального электрослабая теория. В U (1)_Y группа электрослабой теории также имеет полюс Ландау, который обычно считается^{[кем? ]} быть сигналом о необходимости окончательного погружения в Теория Великого Объединения. Масштаб большого объединения обеспечит естественное отсечение значительно ниже шкалы Ландау, предотвращая появление у полюса наблюдаемых физических последствий.

Проблема полюса Ландау в КЭД представляет чисто академический интерес по следующей причине. Роль г_{Наблюдения} в уравнениях. 1, 2 играет постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137 а шкала Ландау для КЭД оценивается в 10²⁸⁶ эВ, что далеко за пределами любой шкалы энергий, относящейся к наблюдаемой физике. Для сравнения: максимальные энергии, доступные при Большой адронный коллайдер порядка 10¹³ эВ, а Планковский масштаб, при котором квантовая гравитация становится важным и актуальность квантовая теория поля сам может быть подвергнут сомнению, это 10²⁸ эВ.

В бозон Хиггса в Стандартная модель из физика элементарных частиц описывается φ⁴ теория (см. Четвертичное взаимодействие ). Если последний имеет полюс Ландау, то этот факт используется для установления «тривиальности» массы Хиггса. Граница зависит от масштаба, в котором, как предполагается, вступает новая физика, и от максимального допустимого значения четвертичной связи (ее физическое значение неизвестно). Для больших муфт требуются непертурбативные методы. В этом контексте также были полезны расчеты решетки.^[13]

Связь со статистической физикой

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, приводящего к полюсам Ландау, приходит из физики конденсированного состояния. Лео П. Каданов В статье 1966 г. была предложена ренормализационная группа «блочного спина».^[14] В блокирующая идея это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях. Этот подход был разработан Кеннет Уилсон.^[15] В 1982 году он был удостоен Нобелевской премии за этот решающий вклад.

Предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией ${\displaystyle Z}$ переменных состояния${\displaystyle \{s_{i}\}}$ и набор констант связи${\displaystyle \{J_{k}\}}$. Эта функция может быть функция распределения, действие, или Гамильтониан. Рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния. ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$,номер ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ должно быть меньше, чем количество${\displaystyle s_{i}}$. Теперь попробуем переписать ${\displaystyle Z}$функция только с точки зрения ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$. Если это достигается определенным изменением параметров, ${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$, то говорят, что теорияперенормируемый. Самая важная информация в потоке RG - это ее фиксированные точки. Возможные макроскопические состояния системы в крупном масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовая тривиальность, и обладает полюсом Ландау. Многочисленные фиксированные точки появляются при изучении решетчатые теории Хиггса, но неизвестно, соответствуют ли они теориям свободного поля.^[3]

Пертурбативные вычисления большого порядка

Решение задачи о полюсе Ландау требует вычисления функции Гелл-Манна – Лоу. β(г) при произвольном г и, в частности, его асимптотика для г → ∞. Схематические расчеты позволяют получить лишь несколько коэффициентов расширения β₂, β₃, ..., которые не позволяют исследовать β функции в целом. Прогресс стал возможен после разработки Липатов метод расчета больших порядков теории возмущений:^[16] Теперь можно попробовать интерполировать известные коэффициенты β₂, β₃, ... с их поведением большого порядка, а затем суммировать ряд возмущений.

Первые попытки реконструкции β функции этим методом несут на себе тривиальность φ⁴ теория. Применение более совершенных методов суммирования дало показатель степени α в асимптотике β(г) ∝ г^α, значение, близкое к единице. Гипотеза об асимптотическом поведении β(г) ∝ г был недавно представлен аналитически для φ⁴ теория и КЭД.^[17][18][19] Вместе с позитивом β(г), полученный суммированием рядов, он предлагает случай (b) приведенной выше классификации Боголюбова и Ширкова и, следовательно, отсутствие полюса Ландау в этих теориях, если предположить, что теория возмущений верна (но см. обсуждение выше во введении).

Смотрите также

• Абсолютно горячий

использованная литература

1. Призрак Ландау - оксфордский индекс
2. Лев Ландау, в Вольфганг Паули, изд. (1955). Нильс Бор и развитие физики. Лондон: Pergamon Press.
3. Д. Дж. Э. Каллавей (1988). «Погоня за мелочами: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988ФР ... 167..241С. Дои:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
4. Callaway, D. J. E .; Петронцио, Р. (1986). «МОГУТ ли существовать элементарные скалярные частицы ?: (II). Скалярная электродинамика». Ядерная физика B. 277 (1): 50–66. Bibcode:1986НуФБ.277 ... 50С. Дои:10.1016/0550-3213(86)90431-1.
5. Göckeler, M .; Р. Хорсли; В. Линке; П. Раков; Г. Ширхольц; Х. Штюбен (1998). «Есть ли проблема полюса Ландау в КЭД?». Письма с физическими проверками. 80 (19): 4119–4122. arXiv:hep-th / 9712244. Bibcode:1998ПхРвЛ..80.4119Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.4119. S2CID  119494925.
6. Kim, S .; Джон Б. Когут; Ломбардо Мария Паола (31 января 2002). "Калиброванные исследования Намбу – Йона-Лазинио о тривиальности квантовой электродинамики". Физический обзор D. 65 (5): 054015. arXiv:hep-lat / 0112009. Bibcode:2002ПхРвД..65э4015К. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.054015. S2CID  15420646.
7. Гис, Хольгер; Джекель, Йорг (9 сентября 2004 г.). «Перенормировка потока КЭД». Письма с физическими проверками. 93 (11): 110405. arXiv:hep-ph / 0405183. Bibcode:2004ПхРвЛ..93к0405Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.93.110405. PMID  15447325. S2CID  222197.
8. Ландау Л.Д., Абрикосов А.А., Халатников И.М. // Докл. Акад. АН СССР 95, 497, 773, 1177 (1954).
9. Гелл-Манн, М.; Лоу, Ф. Э. (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF). Физический обзор. 95 (5): 1300–1320. Bibcode:1954PhRv ... 95.1300G. Дои:10.1103 / PhysRev.95.1300.
10. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. 3-е изд. (Наука, М., 1976; Wiley, New York, 1980).
11. Ландау Л.Д., Померанчук И.Я. // Докл. Акад. АН СССР 102, 489 (1955); И.Я. Померанчук, Докл. Акад. АН СССР 103, 1005 (1955).
12. Callaway, D. J. E .; Петронцио, Р. (1984). "Исследование ренормгруппы Монте-Карло теории поля φ4". Ядерная физика B. 240 (4): 577. Bibcode:1984НуФБ.240..577С. Дои:10.1016/0550-3213(84)90246-3.
13. Например, Callaway, D.J.E .; Петронцио, Р. (1987). "Является ли масса Хиггса стандартной моделью предсказуемой?". Ядерная физика B. 292: 497–526. Bibcode:1987НуФБ.292..497С. Дои:10.1016/0550-3213(87)90657-2.Хеллер, Урс; Маркус Кломфасс; Герберт Нойбергер; Паволс Вранас (1993-09-20). «Численный анализ оценки тривиальности массы Хиггса». Ядерная физика B. 405 (2–3): 555–573. arXiv:hep-ph / 9303215. Bibcode:1993НуФБ.405..555Н. Дои:10.1016/0550-3213(93)90559-8. S2CID  7146602., что предполагает M_ЧАС <710 ГэВ.
14. Каданов Л.П. (1966): "Законы масштабирования для моделей Изинга около ${\displaystyle T_{c}}$", Физика (Лонг-Айленд-Сити, Нью-Йорк) 2, 263.
15. КГ. Уилсон (1975): Ренормализационная группа: критические явления и проблема Кондо, Rev. Mod. Phys. 47, 4, 773.
16. Липатов Л.Н., Ж.эксп.теор.физ. 72, 411 (1977) [Сов. Физ. ЖЭТФ 45, 216 (1977)].
17. Суслов, И. М. (2008). «Ренормгрупповые функции теории φ4 в пределе сильной связи: аналитические результаты». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 107 (3): 413–429. arXiv:1010.4081. Bibcode:2008JETP..107..413S. Дои:10.1134 / S1063776108090094. S2CID  119205490.
18. Суслов, И. М. (2010). «Асимптотика β-функции в теории ϕ4: схема без комплексных параметров». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 111 (3): 450–465. arXiv:1010.4317. Bibcode:2010JETP..111..450S. Дои:10.1134 / S1063776110090153. S2CID  118545858.
19. Суслов, И. М. (2009). «Точная асимптотика β-функции в квантовой электродинамике». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 108 (6): 980–984. arXiv:0804.2650. Bibcode:2009JETP..108..980S. Дои:10.1134 / S1063776109060089. S2CID  7219671.