Теорема Куроша о подгруппах - Kurosh subgroup theorem

в математический поле теория групп, то Теорема Куроша о подгруппах описывает алгебраическую структуру подгруппы из бесплатные продукты из группы. Теорема была получена Александр Курош, русский математик, в 1934 году.^[1] Неформально теорема гласит, что каждая подгруппа свободного продукта сама является свободным продуктом свободная группа и его пересечения с конъюгирует факторов исходного бесплатного продукта.

История и обобщения

После первоначального доказательства Куроша в 1934 году было много последующих доказательств теоремы Куроша о подгруппах, включая доказательства Гарольда В. Куна (1952),^[2] Saunders Mac Lane (1958)^[3] и другие. Теорема была также обобщена для описания подгрупп объединенные бесплатные продукты и Расширения HNN.^[4][5] Другие обобщения включают рассмотрение подгрупп свободных конечный товары^[6] и вариант теоремы Куроша о подгруппах для топологические группы.^[7]

Говоря современным языком, теорема Куроша о подгруппах является прямым следствием основных структурных результатов Теория Басса – Серра о группах игра актеров на деревья.^[8]

Формулировка теоремы

Позволять ${displaystyle G=A*B}$ быть бесплатный продукт групп А и B и разреши ${displaystyle Hleq G}$ быть подгруппа из грамм. Тогда есть семья ${displaystyle (A_{i})_{iin I}}$ подгрупп ${displaystyle A_{i}leq A}$, семья ${displaystyle (B_{j})_{jin J}}$ подгрупп ${displaystyle B_{j}leq B}$, семьи ${displaystyle g_{i},iin I}$ и ${displaystyle f_{j},jin J}$ элементов грамм, и подмножество ${displaystyle Xsubseteq G}$ такой, что

${displaystyle H=F(X)*(*_{iin I}g_{i}A_{i}g_{i}^{-1})*(*_{jin J}f_{j}B_{j}f_{j}^{-1}).}$

Это означает, что Икс свободно генерирует подгруппа грамм изоморфен свободная группа F(Икс) на бесплатной основе Икс и что, кроме того, грамм_яА_яграмм_я⁻¹, ж_jB_jж_j⁻¹ и Икс генерировать ЧАС в грамм как бесплатный продукт указанной выше формы.

Это обобщение на случай бесплатных продуктов с произвольно большим количеством факторов.^[9] Его формулировка:

Если ЧАС является подгруппой ∗_i∈Iграмм_я = грамм, тогда

${displaystyle H=F(X)*(*_{jin J}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1}),}$

куда Икс ⊆ грамм и J это некоторый набор индексов и грамм_j ∈ грамм и каждый ЧАС_j является подгруппой некоторых грамм_я.

Доказательство с использованием теории Басса – Серра.

Теорема Куроша о подгруппах легко следует из основных структурных результатов в Теория Басса – Серра, как объясняется, например, в книге Коэна (1987):^[8]

Позволять грамм = А∗B и рассмотреть грамм как фундаментальная группа граф групп Y состоящий из одного непетлевого ребра с группами вершин А и B и с тривиальной группой ребер. Позволять Икс универсальное накрывающее дерево Басса – Серра для графа групп Y. С ЧАС ≤ грамм также действует на Икс, рассмотрим фактор-граф групп Z за действие ЧАС на Икс. Группы вершин Z являются подгруппами грамм-стабилизаторы вершин Икс, то есть они сопряжены в грамм в подгруппы А и B. Краевые группы Z тривиальны, поскольку грамм-стабилизаторы кромок Икс были банальными. По основной теореме теории Басса – Серра ЧАС канонически изоморфный к фундаментальной группе граф групп Z. Поскольку группы ребер Z тривиальны, отсюда следует, что ЧАС равно свободному произведению вершинных групп Z и свободная группа F(Икс) какой фундаментальная группа (в стандартном топологическом смысле) основного графа Z из Z. Отсюда следует заключение теоремы Куроша о подгруппах.

Расширение

Результат распространяется на случай, когда грамм это амальгамированный продукт по общей подгруппе C, при условии, что ЧАС встречает каждую пару C только в элементе идентичности.^[10]

Смотрите также

• Расширение HNN
• Геометрическая теория групп

Рекомендации

1. Александр Курош, Die Untergruppen der freien Produkte von trustbigen Gruppen. Mathematische Annalen, т. 109 (1934), стр. 647–660.
2. Гарольд В. Кун. Теоремы о подгруппах для групп, представленных образующими и отношениями. Анналы математики (2), 56 (1952), 22–46
3. Saunders Mac Lane, Доказательство теоремы о подгруппах для бесплатных продуктов, Математика, 5 (1958), 13–19
4. Авраам Каррасс и Дональд Солитэр, Подгруппы свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Труды Американского математического общества, т. 150 (1970), стр. 227–255.
5. Авраам Каррасс и Дональд Солитэр, Подгруппы HNN-групп и групп с одним определяющим соотношением. Канадский математический журнал, 23 (1971), 627–643.
6. Залесский, Павел Александрович (1990). «[Открытые подгруппы свободных проконечных произведений над проконечным пространством индексов]». Доклады Академии Наук СССР (на русском). 34 (1): 17–20.
7. Питер Николас, Теорема Куроша о подгруппах для топологических групп. Труды Лондонского математического общества (3), 42 (1981), нет. 3, 461–477. МИСТЕР0614730
8. Дэниел Э. Коэн. Комбинаторная теория групп: топологический подход. Лондонское математическое общество Студенческие тексты, 14. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1989. ISBN  0-521-34133-7; 0-521-34936-2
9. Уильям С. Мэсси, Алгебраическая топология: введение, Тексты для выпускников по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1977, ISBN  0-387-90271-6; стр. 218–225
10. Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья. Springer. С. 56–57. ISBN  3-540-44237-5.