Коэффициент Кронекера - Kronecker coefficient

В математике Коэффициенты Кронекера грамм^λ_μν описать разложение тензорное произведение (= Кронекер продукт ) двух неприводимые представления из симметричная группа в неприводимые представления. Они играют важную роль алгебраическая комбинаторика и теория геометрической сложности. Их представил Мурнаган в 1938 г.

Определение

Для разбиения λ множества п, записывать V_λ для Модуль Specht связанный с λ. Тогда коэффициенты Кронекера грамм^λ_μν даны по правилу

${\displaystyle V_{\mu }\otimes V_{\nu }=\bigoplus _{\lambda }g_{\mu \nu }^{\lambda }V_{\lambda }.}$

Это можно интерпретировать на уровне симметричные функции, давая формулу для произведения Кронекера двух Полиномы Шура:

${\displaystyle s_{\mu }\star s_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu \nu }^{\lambda }s_{\lambda }.}$

Это нужно сравнить с Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона, где вместо этого рассматривается индуцированное представление

${\displaystyle \uparrow _{S_{|\mu |}\times S_{|\nu |}}^{S_{|\lambda |}}\left(V_{\mu }\otimes V_{\nu }\right)=\bigoplus _{\lambda }c_{\mu \nu }^{\lambda }V_{\lambda },}$

и соответствующая операция симметричных функций - обычное произведение. Также отметим, что коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона являются аналогом коэффициентов Кронекера для представлений GL_п, т.е. если мы напишем W_λ для неприводимого представления, соответствующего λ (где λ имеет не более п частей), получается, что

${\displaystyle W_{\mu }\otimes W_{\nu }=\bigoplus _{\lambda }c_{\mu \nu }^{\lambda }W_{\lambda }.}$

Характеристики

Бюргиссер и Икенмейер (2008) показал, что вычисление коэффициентов Кронекера # P-hard и содержится в GapP. Недавняя работа Икенмейер, Малмули и Уолтер (2017) показывает, что решение о том, является ли данный коэффициент Кронекера ненулевым, является NP-жесткий.^[1] Этот недавний интерес к вычислительной сложности этих коэффициентов обусловлен их актуальностью в Теория геометрической сложности программа.

Основная нерешенная проблема теории представлений и комбинаторики - дать комбинаторное описание коэффициентов Кронекера. Открыт с 1938 года, когда Мурнаган попросил такое комбинаторное описание.^[2] Комбинаторное описание также подразумевает, что проблема # P-полный в свете приведенного выше результата.

Коэффициенты Кронекера можно вычислить как

${\displaystyle g(\lambda ,\mu ,\nu )={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi ^{\lambda }(\sigma )\chi ^{\mu }(\sigma )\chi ^{\nu }(\sigma ),}$

куда ${\displaystyle \chi ^{\lambda }(\sigma )}$ это значение символа неприводимого представления, соответствующего раздел ${\displaystyle \lambda }$ на перестановке ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$.

Коэффициенты Кронекера также входят в обобщенное тождество Коши

${\displaystyle \sum _{\lambda ,\mu ,\nu }g(\lambda ,\mu ,\nu )s_{\lambda }(x)s_{\mu }(y)s_{\nu }(z)=\prod _{i,j,k}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}z_{k}}}.}$

Смотрите также

• Коэффициент Литтлвуда – Ричардсона

Рекомендации

1. Икенмейер, Кристиан; Mulmuley, Ketan D .; Уолтер, Майкл (2017-12-01). «Об обращении в нуль коэффициентов Кронекера». Вычислительная сложность. 26 (4): 949–992. arXiv:1507.02955. Дои:10.1007 / s00037-017-0158-у. ISSN  1420-8954.
2. Мурнаган, Д. (1938). «Анализ прямого произведения неприводимых представлений симметрических групп». Амер. J. Math. 60 (9): 44–65. Дои:10.2307/2371542. JSTOR  2371542. ЧВК  1076971. PMID  16577800.

• Бюргиссер, Питер; Икенмейер, Кристиан (2008), «Сложность вычисления коэффициентов Кронекера», 20-я ежегодная международная конференция по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике (FPSAC 2008), Дискретная математика. Теор. Comput. Sci. Proc., AJ, Assoc. Дискретная математика. Теор. Comput. Sci., Нэнси, стр. 357–368, МИСТЕР  2721467