Кодаира теорема об исчезновении - Kodaira vanishing theorem

В математика, то Кодаира теорема об исчезновении это основной результат комплексное многообразие теория и комплекс алгебраическая геометрия, описывающие общие условия, при которых когомологии пучков группы с индексами q > 0 автоматически равны нулю. Последствия для группы с индексом q = 0 обычно означает, что его размерность - количество независимых глобальные разделы - совпадает с голоморфная эйлерова характеристика которые можно вычислить с помощью Теорема Хирцебруха – Римана – Роха..

Комплексный аналитический случай

Заявление Кунихико Кодайра в результате, если M компактный Кэлерово многообразие сложного измерения п, L любой голоморфное линейное расслоение на M то есть положительный, и K_M это канонический набор строк, тогда

{ displaystyle H ^ {q} (M, K_ {M} otimes L) = 0}

за q > 0. Здесь ${ displaystyle K_ {M} otimes L}$ стоит за тензорное произведение линейных пучков. Посредством Двойственность Серра, также получаем обращение в нуль ${ displaystyle H ^ {q} (M, L ^ { otimes -1})}$ за q < п. Есть обобщение, Теорема об исчезновении Кодаиры – Накано, в котором ${ Displaystyle K_ {M} иногда L cong Omega ^ {n} (L)}$ , где Ω^п(L) обозначает пучок голоморфный (п, 0) -формы на M с ценностями на L, заменяется на Ω^р(L) пучок голоморфных (р, 0) -формы со значениями на L. Тогда группа когомологий H^q(M, Ω^р(L)) исчезает всякий раз, когдаq + р > п.

Алгебраический случай

Теорема об исчезновении Кодаиры может быть сформулирована на языке алгебраической геометрии без каких-либо ссылок на трансцендентный такие методы, как метрики Келера. Положительность линейного пучка L переводится в соответствующий обратимая связка существование обильный (т.е. некоторая тензорная степень дает проективное вложение). Алгебраическая теорема об исчезновении Кодаиры – Акизуки – Накано представляет собой следующее утверждение:

Если k это поле из характеристика нуль, Икс это гладкий и проективный k-схема измерения d, и L является обильным обратимым пучком на Икс, тогда

{ displaystyle H ^ {q} (X, L otimes Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 { text {for}} p + q> d, { text {and}}}

{ displaystyle H ^ {q} (X, L ^ { otimes -1} otimes Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 { text {for}} p + q

где Ω^п обозначить снопы относительной (алгебраической) дифференциальные формы (видеть Kähler дифференциал ).

Рейно (1978) показал, что этот результат не всегда верен для полей характеристики п > 0, и, в частности, не при Поверхности Рейно.

Однако до 1987 г. единственное известное доказательство в нулевой характеристике основывалось на комплексном аналитическом доказательстве и ГАГА теоремы сравнения. Однако в 1987 г. Пьер Делинь и Люк Иллюзи дал чисто алгебраическое доказательство теоремы об обращении в нуль из (Делинь и Иллюзи 1987 ). Их доказательство основано на том, что Спектральная последовательность Ходжа – де Рама за алгебраические когомологии де Рама вырождается в степени 1. Это показано удалением соответствующего более конкретного результата из характеристики п > 0 - результат с положительной характеристикой не сохраняется без ограничений, но может быть отменен для получения полного результата.

Последствия и приложения

Исторически сложилось так, что Теорема вложения Кодаира был получен с помощью теоремы об исчезновении. С применением двойственности Серра исчезновение различных групп когомологий пучков (обычно связанных с каноническим линейным расслоением) кривых и поверхностей помогает при классификации комплексных многообразий, например Классификация Энриквеса-Кодаира.

Кодаира теорема об исчезновении - Kodaira vanishing theorem

Содержание

Комплексный аналитический случай

Алгебраический случай

Последствия и приложения

Смотрите также

Рекомендации