Японская теорема для циклических четырехугольников - Japanese theorem for cyclic quadrilaterals
В геометрия, то Японская теорема заявляет, что центры в кругах определенных треугольники внутри циклический четырехугольник являются вершинами прямоугольник.
Триангулирование произвольного кругового четырехугольника по его диагоналям дает четыре перекрывающихся треугольника (каждая диагональ создает два треугольника). Центры вписанных окружностей этих треугольников образуют прямоугольник.
В частности, пусть □ABCD - произвольный вписанный четырехугольник и пусть M1, M2, M3, M4 быть центрами треугольников △ABD, △ABC, △BCD, △ACD. Тогда четырехугольник, образованный M1, M2, M3, M4 представляет собой прямоугольник.
Отметим, что эта теорема легко расширяется для доказательства Японская теорема для циклических многоугольников. Чтобы доказать четырехугольник, просто постройте параллелограмм, касательный к углам построенного прямоугольника, со сторонами, параллельными диагоналям четырехугольника. Построение показывает, что параллелограмм представляет собой ромб, что равносильно тому, чтобы показать, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся каждой диагонали, равны.
Случай четырехугольника немедленно доказывает общий случай индукцией по множеству триангулирующих разбиений общего многоугольника.
Смотрите также
Рекомендации
- Мангхо Ахуджа, Ватару Уэгаки, Кайо Мацусита: В поисках японской теоремы (файл постскриптума)
- Теорема в Разрезать узел
- Ватару Уэгаки: "Японская теорема の 起源 と 歴 史" (О происхождении и истории японской теоремы). Бюллетень департамента, Электронные научные коллекции Университета Ми, 2001-03-01
- Уилфред Рейес: Применение теоремы Тибо. Forum Geometricorum, Том 2, 2002, стр. 183–185