Изотропные координаты - Isotropic coordinates

В теории Лоренцевы многообразия, сферически симметричное пространство-время принять семью вложенные круглые сферы. Есть несколько различных типов координатных диаграмм, которые адаптированный к этому семейству вложенных сфер; самым известным является Диаграмма Шварцшильда, но изотропная диаграмма также часто бывает полезным. Определяющей характеристикой изотропной диаграммы является то, что ее радиальная координата (которая отличается от радиальной координаты диаграммы Шварцшильда) определяется так, что появляются световые конусы круглый. Это означает, что (за исключением тривиального случая локально плоского многообразия) угловые изотропные координаты не точно представляют расстояния внутри вложенных сфер, а радиальная координата не точно представляет радиальные расстояния. С другой стороны, углы в гиперспусках постоянного времени представлены без искажений, отсюда и название диаграммы.

Изотропные диаграммы чаще всего применяются к статический сферически симметричное пространство-время в метрические теории гравитации Такие как общая теория относительности, но их также можно использовать, например, для моделирования сферически пульсирующего жидкого шара. Для изолированных сферически-симметричных решений уравнения Уравнение поля Эйнштейна, на больших расстояниях изотропная карта и карта Шварцшильда становятся все более похожими на обычную полярную сферическую карту на Пространство-время Минковского.

Определение

В изотропной карте (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика (он же линейный элемент ) принимает вид

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

В зависимости от контекста может быть уместным рассматривать ${\displaystyle a,\,b}$ как неопределенные функции радиальной координаты (например, при получении точного статического сферически-симметричного решения Уравнение поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Убивающие векторные поля

В Алгебра Ли из Убивающие векторные поля сферически-симметричного статического пространства-времени в изотропной карте принимает ту же форму, что и в карте Шварцшильда. А именно, эта алгебра порождается времениподобными безвихревый Векторное поле убийства

${\displaystyle \partial _{t}}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\phi )\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos(\phi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\phi )\partial _{\phi }}$

Здесь, говоря, что ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ безвихревой означает, что тензор завихренности соответствующих подобие времени исчезает; таким образом, это векторное поле Киллинга гиперповерхность ортогональная. Тот факт, что пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статическое пространство-время. Непосредственным следствием этого является то, что поверхности с координатами постоянного времени ${\displaystyle t=t_{0}}$ сформировать семью (изометрических) пространственные гиперпространства (пространственноподобные гиперповерхности).

В отличие от диаграммы Шварцшильда, изотропная карта не очень хорошо подходит для построения диаграмм вложения этих гиперпространств.

Семейство статических вложенных сфер

Поверхности ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$ выглядят как круглые сферы (когда мы строим точки в полярной сферической манере), и по форме линейного элемента мы видим, что метрика, ограниченная любой из этих поверхностей, равна

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\phi <\pi }$

куда ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ координаты и ${\displaystyle g_{\Omega }}$ - риманова метрика на сфере 2 единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы, но появление ${\displaystyle b(r_{0})\,r}$ скорее, чем ${\displaystyle r}$ показывает, что радиальная координата не соответствует площади так же, как для сфер в обычных евклидово пространство. Сравните координаты Шварцшильда, где радиальная координата имеет свою естественную интерпретацию в терминах вложенных сфер.

Координатные особенности

Места ${\displaystyle \phi =-\pi ,\,\pi }$ отметьте границы изотропной карты, и, как и в диаграмме Шварцшильда, мы неявно предполагаем, что эти два локуса отождествлены, так что наши предполагаемые круглые сферы действительно являются топологическими сферами.

Так же, как и для диаграммы Шварцшильда, диапазон радиальной координаты может быть ограничен, если метрика или ее обратная величина увеличиваются для некоторого значения (ей) этой координаты.

Метрический анзац

Приведенный выше линейный элемент с f, g, рассматриваемыми как неопределенные функции изотропной координаты r, часто используется в качестве метрики. Анзац при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрические теории гравитации ).

В качестве иллюстрации мы набросаем, как вычислить соединение и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем элемент строки a поле coframe,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\phi }$

где мы рассматриваем ${\displaystyle a,\,b}$ как неопределенные гладкие функции ${\displaystyle r}$. (Тот факт, что наше пространство-время допускает систему отсчета, имеющую эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия изотропной карты в статическом сферически-симметричном лоренцевом многообразии). Взяв внешние производные и используя первое структурное уравнение Картана, находим отличное от нуля одноформное соединение

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\phi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\phi }$

Снова взяв внешние производные и подставив второе структурное уравнение Картана, мы находим кривизна двух форм.

Смотрите также

• статическое пространство-время,
• сферически симметричное пространство-время,
• статические сферически симметричные идеальные жидкости,
• Координаты Шварцшильда, еще одна популярная диаграмма статических сферически-симметричных пространств-времени,
• поля фрейма в общей теории относительности, чтобы узнать больше о полях фреймов и полях coframe.

Рекомендации

• Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация. В. Фриман и компания. ISBN  0-7167-0344-0.