Конгруэнтность (общая теория относительности) - Congruence (general relativity)

В общая теория относительности, а соответствие (точнее, соответствие кривых) - множество интегральные кривые (нигде не исчезает) векторное поле в четырехмерном Лоренцево многообразие который физически интерпретируется как модель пространство-время. Часто этот коллектор принимают за точный или приблизительное решение Уравнение поля Эйнштейна.

Типы конгруэнций

Конгруэнции, порожденные нигде не исчезающими времяподобными, нулевыми или пространственноподобными векторными полями, называются подобный времени, ноль, или же космический соответственно.

Сравнение называется геодезический соответствие если он допускает касательное векторное поле ${\displaystyle {\vec {X}}}$ с исчезновением ковариантная производная, ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0}$.

Связь с векторными полями

Интегральные кривые векторного поля представляют собой семейство непересекающийся параметризованные кривые, заполняющие пространство-время. Сравнение состоит из самих кривых без ссылки на конкретную параметризацию. Многие различные векторные поля могут вызывать одно и тоже конгруэнтность кривых, так как если ${\displaystyle f}$ является нигде не исчезающей скалярной функцией, то ${\displaystyle {\vec {X}}}$ и ${\displaystyle {\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}}$ вызывают такое же совпадение.

Однако в лоренцевом многообразии мы имеем метрический тензор, который выбирает предпочтительное векторное поле среди векторных полей, которые всюду параллельны данному времениподобному или пространственноподобному векторному полю, а именно поле касательные векторы к кривым. Это соответственно времениподобные или пространственноподобные единица измерения векторные поля.

Физическая интерпретация

В общей теории относительности времениподобное сравнение в четырехмерном лоренцевом многообразии можно интерпретировать как семейство мировые линии некоторых идеальных наблюдателей в нашем пространстве-времени. В частности, времяподобная геодезическая конгруэнтность можно интерпретировать как семью свободно падающие тестовые частицы.

Нулевые сравнения также важны, особенно нулевые геодезические сравнения, которое можно интерпретировать как семейство свободно распространяющихся световых лучей.

Предупреждение: мировая линия импульса света, движущегося в оптоволокно кабель вообще не был бы нулевой геодезической и светом в очень ранней Вселенной ( радиационный эпоха) не распространялась свободно. Мировая линия радиолокационного импульса, посланного из земной шар мимо солнце к Венера однако будет смоделирована как нулевая геодезическая дуга. В измерениях, отличных от четырех, связь между нулевыми геодезическими и «светом» больше не выполняется: если «свет» определяется как решение лапласиана волновое уравнение, то пропагатор имеет как нулевые, так и временные компоненты в нечетных пространственно-временных измерениях и больше не является чистым Дельта-функция Дирака даже в пространственно-временных измерениях больше четырех.

Кинематическое описание

Описание взаимного движения пробных частиц в нулевой геодезической конгруэнтности в пространстве-времени, таком как Вакуум Шварцшильда или же FRW пыль - очень важная проблема общей теории относительности. Она решается определением определенных кинематические величины которые полностью описывают, как интегральные кривые в сравнении могут сходиться (расходиться) или закручиваться друг относительно друга.

Следует подчеркнуть, что кинематическое разложение, которое мы собираемся описать, является чистой математикой, справедливой для любого лоренцевого многообразия. Однако физическая интерпретация в терминах пробных частиц и приливных ускорений (для времениподобных геодезических конгруэнций) или пучков световых лучей (для нулевых геодезических конгруэнций) действительна только для общей теории относительности (аналогичные интерпретации могут быть справедливы в тесно связанных теориях).

Кинематическое разложение времениподобного сравнения

Рассмотрим времяподобное сравнение, порожденное неким времениподобным единица измерения векторное поле X, который следует рассматривать как линейный дифференциальный оператор первого порядка в частных производных. Тогда компоненты нашего векторного поля теперь являются скалярными функциями, заданными в тензорной записи, записав ${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$, где f - произвольная гладкая функция. вектор ускорения это ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$; мы можем записать его компоненты в тензорных обозначениях как

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

Затем заметьте, что уравнение

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

означает, что термин в скобках слева - это поперечная часть из ${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$. Это отношение ортогональности выполняется только тогда, когда X - времениподобный единичный вектор Лоренциан Многообразие. Это не выполняется в более общих условиях. Написать

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

для тензор проекции проецирующий тензоры в их поперечные части; например, поперечная часть вектора - это часть ортогональный к ${\displaystyle {\vec {X}}}$. Этот тензор можно рассматривать как метрический тензор гиперповерхности, касательные векторы которой ортогональны X. Таким образом, мы показали, что

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

Затем мы разложим его на симметричную и антисимметричную части:

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

Здесь,

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

известны как тензор разложения и тензор завихренности соответственно.

Поскольку эти тензоры живут в элементах пространственной гиперплоскости, ортогональных к ${\displaystyle {\vec {X}}}$, мы можем думать о них как о трехмерный тензоры второго ранга. Более строго это можно выразить с помощью понятия Производная Ферми. Следовательно, мы можем разложить тензор разложения на его бесследный часть плюс след часть. Запись следа как ${\displaystyle \theta }$, у нас есть

${\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

Поскольку тензор завихренности антисимметричен, его диагональные компоненты обращаются в нуль, поэтому он автоматически бесследный (и мы можем заменить его трехмерным вектор, хотя мы этого делать не будем). Следовательно, теперь мы имеем

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Это желаемое кинематическое разложение. В случае таймподобного геодезический В соответствии с конгруэнцией последний член тождественно обращается в нуль.

Скаляр разложения, тензор сдвига (${\displaystyle \sigma _{ab}}$) и тензор завихренности времениподобной геодезической конгруэнции имеют следующий интуитивный смысл:

1. скаляр расширения представляет собой частичную скорость, с которой объем небольшого первоначально сферического облака пробных частиц изменяется относительно собственного времени частицы в центре облака,
2. тензор сдвига представляет любую тенденцию исходной сферы к искажению в эллипсоидальную форму,
3. тензор завихренности представляет собой любое стремление исходной сферы к вращению; завихренность исчезает тогда и только тогда, когда мировые линии в сравнении всюду ортогональны пространственным гиперповерхностям в некоторой слоение пространства-времени, и в этом случае для подходящей координатной карты каждый гиперсрез можно рассматривать как поверхность «постоянного времени».

См. Цитаты и ссылки ниже для обоснования этих утверждений.

Кривизна и времениподобные конгруэнции

Посредством Личность Риччи (который часто используется как определение Тензор Римана ), мы можем написать

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

Подставляя кинематическое разложение в левую часть, мы можем установить отношения между тензором кривизны и кинематическим поведением времениподобных конгруэнций (геодезических или нет). Эти отношения можно использовать двумя способами, оба очень важными:

1. мы можем (в принципе) экспериментально определить тензор кривизны пространства-времени из подробных наблюдений кинематического поведения любого времениподобного конгруэнтности (геодезического или нет),
2. мы можем получить уравнения эволюции для кусков кинематического разложения (скаляр расширения, тензор сдвига, и тензор завихренности ) которые показывают прямые кривизна муфта.

В знаменитом слогане Джон Арчибальд Уиллер,

Пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться.

Теперь мы видим, как точно определить первую часть этого утверждения; то Уравнение поля Эйнштейна количественно оценивает вторую часть.

В частности, согласно Bel разложение тензора Римана, взятого относительно нашего времениподобного единичного векторного поля, электрогравитационный тензор (или же приливный тензор) определяется

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Идентификация Риччи теперь дает

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Подключив кинематическое разложение, мы можем в конечном итоге получить

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

Здесь над точками обозначено дифференцирование по подходящее время, отсчитываемом по времениподобному сравнению (т.е. берем ковариантную производную по векторному полю X). Это можно рассматривать как описание того, как можно определить приливный тензор из наблюдений за Один подобие времени.

Уравнения эволюции

В этом разделе мы обратимся к проблеме получения уравнения эволюции (также называемый уравнения распространения или же формулы размножения).

Вектор ускорения удобно будет записать в виде ${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$ а также установить

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Теперь из тождества Риччи для приливного тензора имеем

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Но

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

так что у нас есть

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

Подключив определение ${\displaystyle J_{ab}}$ и взяв, соответственно, диагональную часть, бесследную симметричную часть и антисимметричную часть этого уравнения, мы получим искомые эволюционные уравнения для скаляра разложения, тензора сдвига и тензора завихренности.

Рассмотрим сначала более простой случай, когда вектор ускорения обращается в нуль. Затем (заметив, что тензор проекции можно использовать для понижения индексов чисто пространственных величин), имеем

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

или же

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

С помощью элементарной линейной алгебры легко проверить, что если ${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$ - соответственно трехмерные симметричные и антисимметричные линейные операторы, то ${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$ симметричен, а ${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$ является антисимметричным, поэтому при понижении индекса соответствующие комбинации в скобках выше становятся симметричными и антисимметричными соответственно. Следовательно, взятие следа дает Уравнение Райчаудхури (для времениподобных геодезических):

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

Взяв бесследную симметричную часть, получаем

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

и взяв антисимметричную часть дает

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

Здесь,

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

- квадратичные инварианты, которые никогда не бывают отрицательными, так что ${\displaystyle \sigma ,\omega }$ являются вполне определенными действительными инвариантами. След приливного тензора также можно записать

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Иногда его называют Скаляр Райчаудхури; разумеется, он тождественно обращается в нуль в случае вакуумный раствор.

Смотрите также

• конгруэнтность (многообразия)
• скаляр расширения
• тензор разложения
• тензор сдвига
• тензор завихренности
• Уравнение Райчаудхури

Рекомендации

• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Bibcode:2004rtmb.book ..... P. ISBN  978-0-521-83091-1. Видеть Глава 2 за отличное и подробное введение в геодезические сравнения. Обсуждение Пуассоном нулевых геодезических конгруэнций особенно ценно.
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности. Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-8053-8732-2. Видеть приложение F для хорошего элементарного обсуждения геодезических сопоставлений. (Обозначения Кэрролла несколько нестандартны.^{[нужна цитата ]})
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46136-8. Видеть Глава 6 для очень подробного введения в временные и нулевые конгруэнции.
• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5. Видеть Раздел 9.2 для кинематики времениподобных геодезических конгруэнций.
• Хокинг, Стивен; Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09906-6. Видеть Раздел 4.1 для кинематики времениподобных и нулевых конгруэнций.
• Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати; Кар, Саян (2009). «Кинематика течений на искривленных деформируемых средах». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 6 (4): 645–666. arXiv:0804.4089. Bibcode:2009IJGMM..06..645D. Дои:10.1142 / S0219887809003746. См. Подробное введение в кинематику геодезических потоков на конкретных двумерных искривленных поверхностях (а именно сфере, гиперболическом пространстве и торе).