Бесконечная комбинаторика - Infinitary combinatorics

В математике бесконечная комбинаторика, или же комбинаторная теория множеств, является продолжением идей в комбинаторика к бесконечные множества. Некоторые из изученных вещей включают непрерывные графики и деревья, расширения Теорема Рамсея, и Аксиома мартина. Последние разработки касаются комбинаторики континуум^[1] комбинаторика наследников единичных кардиналов.^[2]

Теория Рамсея для бесконечных множеств

Напишите κ, ​​λ для ординалов, м для количественное числительное и п для натурального числа. Эрдеш и Радо (1956) ввел обозначения

${displaystyle kappa ightarrow (lambda )_{m}^{n}}$

как сокращенный способ сказать, что каждый раздел множества [κ]^п из п-элемент подмножества из ${displaystyle kappa }$ в м штук имеет однородный набор порядка типа λ. Однородное множество в этом случае есть такое подмножество κ, что каждое п-элементное подмножество находится в том же элементе раздела. Когда м равно 2, его часто опускают.

Если предположить аксиома выбора, нет ординалов κ с κ → (ω)^ω, так п обычно считается конечным. Расширение, где п может быть почти бесконечным.

${displaystyle kappa ightarrow (lambda )_{m}^{<omega }}$

что является сокращенным способом сказать, что каждый раздел множества конечных подмножеств κ в м частей имеет подмножество порядкового типа λ такое, что для любого конечного п, все подмножества размера п находятся в одном элементе перегородки. Когда м равно 2, его часто опускают.

Другой вариант - обозначение

${displaystyle kappa ightarrow (lambda ,mu )^{n}}$

что является сокращенным способом сказать, что каждая раскраска множества [κ]^п из п-элементные подмножества κ с двумя цветами имеют подмножество порядкового типа λ такое, что все элементы из [λ]^п имеют первый цвет или подмножество порядкового типа μ такое, что все элементы [μ]^п иметь второй цвет.

Некоторые свойства этого включают: (в дальнейшем ${displaystyle kappa }$ кардинал)

${displaystyle aleph _{0}ightarrow (aleph _{0})_{k}^{n}}$ для всех конечных п и k (Теорема Рамсея ).

${displaystyle eth _{n}^{+}ightarrow (aleph _{1})_{aleph _{0}}^{n+1}}$ (Теорема Эрдеша – Радо.)

${displaystyle 2^{kappa }ot ightarrow (kappa ^{+})^{2}}$ (Теорема Серпинского)

${displaystyle 2^{kappa }ot ightarrow (3)_{kappa }^{2}}$

${displaystyle kappa ightarrow (kappa ,aleph _{0})^{2}}$ (Теорема Эрдеша – Душника – Миллера. ).

Во вселенных без выбора свойства разбиения с бесконечными показателями могут выполняться, и некоторые из них получаются как следствия аксиома детерминированности (ОБЪЯВЛЕНИЕ). Например, Дональд А. Мартин доказал, что из AD следует

${displaystyle aleph _{1}ightarrow (aleph _{1})_{2}^{aleph _{1}}}$

Крупные кардиналы

Несколько большой кардинал свойства могут быть определены с использованием этого обозначения. Особенно:

• Слабо компактные кардиналы κ - это те, которые удовлетворяют κ → (κ)²
• α-Кардиналы Эрдёша κ - наименьшие, удовлетворяющие условию κ → (α)^<ω
• Рамси кардиналы κ - это те, которые удовлетворяют κ → (κ)^<ω

Примечания

1. Андреас Бласс, Комбинаторные кардинальные характеристики континуума., Глава 6 Справочника по теории множеств под редакцией Мэтью Форман и Акихиро Канамори, Springer, 2010 г.
2. Тодд Эйсворт, Преемники единичных кардиналов Глава 15 в Справочнике по теории множеств под редакцией Мэтью Формана и Акихиро Канамори, Springer, 2010 г.

Рекомендации

• Душник, Бен; Миллер, Э. У. (1941), "Частично упорядоченные множества", Американский журнал математики, 63 (3): 600–610, Дои:10.2307/2371374, HDL:10338.dmlcz / 100377, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371374, МИСТЕР  0004862
• Эрдеш, Пол; Хайнал, Андраш (1971), «Нерешенные проблемы теории множеств», Аксиоматическая теория множеств (Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния, 1967), Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XIII Часть I, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 17–48, МИСТЕР  0280381
• Эрдеш, Пол; Хайнал, Андраш; Мате, Аттила; Радо, Ричард (1984), Комбинаторная теория множеств: отношения разбиения для кардиналов, Исследования по логике и основам математики, 106, Амстердам: Издательство Северной Голландии, ISBN  0-444-86157-2, МИСТЕР  0795592
• Эрдеш, П.; Радо, Р. (1956), «Исчисление разбиений в теории множеств», Бык. Амер. Математика. Soc., 62 (5): 427–489, Дои:10.1090 / S0002-9904-1956-10036-0, МИСТЕР  0081864
• Канамори, Акихиро (2000). Высшее Бесконечное (второе изд.). Springer. ISBN  3-540-00384-3.
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-85401-8