Символы Инфельда – ван дер Вардена - Infeld–van der Waerden symbols

В Символы Инфельда – ван дер Вардена, иногда называют просто символы ван дер Вардена, являются инвариантным символом, связанным с Группа Лоренца используется в квантовая теория поля. Они названы в честь Леопольд Инфельд и Бартель Леендерт ван дер Варден.^[1]

Символы Инфельда-ван дер Вардена являются индексными обозначениями для Умножение Клиффорда ковекторов на левую спиноры дающие правые спиноры или наоборот, т.е.они являются недиагональными блоками гамма-матрицы. Символы обычно обозначаются обозначение ван дер Вардена в качестве

$${\displaystyle \sigma ^{m}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}\quad {\text{and}}\quad {\bar {\sigma }}^{m\,{\dot {\alpha }}\beta }.}$$

и так есть один индекс Лоренца (m), один левый (не пунктирный греческий) и один правый (пунктирный греческий) Вейля спинор индекс. Они удовлетворяют

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{m}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}{\bar {\sigma }}^{n\,{\dot {\beta }}\gamma }+\sigma ^{n}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}{\bar {\sigma }}^{m\,{\dot {\beta }}\gamma }&=2\delta _{\alpha }^{\gamma }g^{mn},\quad \\\sigma ^{m}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}{\bar {\sigma }}^{n\,{\dot {\gamma }}\alpha }+\sigma ^{n}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}{\bar {\sigma }}^{m\,{\dot {\gamma }}\alpha }&=2\delta _{\dot {\beta }}^{\dot {\gamma }}g^{mn}.\end{aligned}}}$$

Однако они не обязательно должны быть постоянными и поэтому могут быть сформулированы для искривленного пространства-времени.

Фон

Существование этого инвариантного символа следует из результата теория представлений группы Лоренца или, точнее, его алгебра Ли. Маркировка неприводимые представления к ${\displaystyle (j,{\bar {\jmath }})}$, спинор и его комплексно сопряженные представления являются левым и правым фундаментальные представления

${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},0)}$ и ${\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}),}$

в то время как касательные векторы живут в векторном представлении

${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}).}$

Тензорное произведение одного левого и правого фундаментальных представлений - это векторное представление,${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},0)\otimes (0,{\tfrac {1}{2}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$. Двойственное утверждение состоит в том, что тензорное произведение векторного, левого и правого фундаментальных представлений содержит тривиальное представление которое на самом деле порождается построением представлений алгебры Ли через алгебру Клиффорда (см. ниже)^[2]

$${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},0)\otimes (0,{\tfrac {1}{2}})\otimes ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})=(0,0)\oplus \cdots .}$$

Символы Инфельда ван дер Вардена и представления алгебры Клиффорда

Рассмотрим пространство положительных спиноров Вейля ${\displaystyle S}$ лоренцевого векторного пространства ${\displaystyle (T,g)}$ с двойным ${\displaystyle (T^{\vee },g^{\vee })}$. Тогда отрицательные спиноры Вейля можно отождествить с векторным пространством ${\displaystyle {\bar {S}}^{\vee }}$ комплексно сопряженных двойственных спиноров. Спиноры Вейля реализуют «две половины представления алгебры Клиффорда», то есть они идут с умножением на ковекторы, реализованные как карты

${\displaystyle \sigma :T^{\vee }\to \mathrm {Hom} (S,{\bar {S}}^{\vee })}$

и

${\displaystyle {\bar {\sigma }}:T^{\vee }\to \mathrm {Hom} ({\bar {S}}^{\vee },S)}$

которые мы будем называть отображениями Инфельда ван дер Вардена. Обратите внимание, что естественным образом мы также можем рассматривать карты как полуторалинейное отображение, связывающее вектор с левым и правым спинором.

${\displaystyle \sigma \in T\otimes {\bar {S}}^{\vee }\otimes S^{\vee }\cong \mathrm {Hom} ({\bar {S}}\otimes S,T)}$

соответственно ${\displaystyle {\bar {\sigma }}\in T\otimes S\otimes {\bar {S}}\cong \mathrm {Hom} (S^{\vee }\otimes {\bar {S}}^{\vee },T)}$.

То, что карты Инфельда ван дер Вардена реализуют «две половины представления алгебры Клиффорда», означает, что для ковекторов ${\displaystyle a,b\in T^{\vee }}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}(a)\sigma (b)+{\bar {\sigma }}(b)\sigma (a)=2g^{\vee }(a,b)1_{S}}$

соотв.

${\displaystyle \sigma (a){\bar {\sigma }}(b)+\sigma (b){\bar {\sigma }}(a)=2g^{\vee }(a,b)1_{{\bar {S}}^{\vee }}}$,

так что если мы определим

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}0&{\bar {\sigma }}\\\sigma &0\end{pmatrix}}:T^{\vee }\to \mathrm {End} (S\oplus {\bar {S}}^{\vee })}$

тогда

${\displaystyle \gamma (a)\gamma (b)+\gamma (b)\gamma (a)=2g^{\vee }(a,b)1_{S\oplus {\bar {S}}^{\vee }}.}$

Следовательно ${\displaystyle \gamma }$ распространяется на собственное представление алгебры Клиффорда ${\displaystyle \mathrm {Cl} (T^{\vee },g^{\vee })\to \mathrm {End} (S\oplus {\bar {S}}^{\vee })}$.

Отображения Инфельда ван дер Вардена действительны (или эрмитовы) в том смысле, что комплексно сопряженные двойственные отображения

${\displaystyle \sigma ^{\dagger }(a):S\mathop {\to } \limits ^{\bar {\ }}{\bar {S}}\mathop {\longrightarrow } \limits ^{\sigma ^{\vee }(a)}S^{\vee }\mathop {\to } \limits ^{\bar {\ }}{\bar {S}}^{\vee }}$

совпадает (для реального ковектора ${\displaystyle a}$) :

${\displaystyle \sigma (a)=\sigma ({\bar {a}})^{\dagger }}$.

Точно так же у нас есть ${\displaystyle {\bar {\sigma }}(a)={\bar {\sigma }}({\bar {a}})^{\dagger }}$.

Теперь символы Инфельда и Инфельда ван дер Вардена являются компонентами карт. ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ и ${\displaystyle \sigma }$ относительно основ ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle S}$ с индуцированными базами на ${\displaystyle T^{\vee }}$ и ${\displaystyle {\bar {S}}^{\vee }}$. Конкретно, если T - касательное пространство в точке O с локальными координатами ${\displaystyle x^{m}}$ (${\displaystyle m=0,\ldots ,3}$) так что ${\displaystyle \partial _{m}}$ это основа для ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle dx^{m}}$ это основа для ${\displaystyle T^{\vee }}$, и ${\displaystyle s_{\alpha }}$ (${\displaystyle \alpha =0,1}$) является основой для ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle s^{\alpha }}$ двойная основа для ${\displaystyle S^{\vee }}$ с комплексно сопряженным дуальным базисом ${\displaystyle {\bar {s}}^{\dot {\alpha }}}$ из ${\displaystyle {\bar {S}}^{\vee }}$, тогда

${\displaystyle \sigma (dx^{m})(s_{\alpha })=\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{m}{\bar {s}}^{\dot {\beta }}}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}(dx^{m})({\bar {s}}^{\dot {\alpha }})={\bar {\sigma }}^{m,{\dot {\alpha }}\beta }s_{\beta }}$

Используя локальные реперы (ко) касательного расслоения и спинорного расслоения Вейля, конструкция переносится на дифференцируемое многообразие со спинорной связкой.

Приложения

В ${\displaystyle \sigma }$ символы имеют фундаментальное значение для расчетов в квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, И в суперсимметрия. При наличии тетрада ${\displaystyle e^{\mu }{}_{m}}$ для «припаивания» локальных индексов Лоренца к касательным индексам сокращенная версия ${\displaystyle \sigma ^{\mu }{}_{\alpha {\dot {\beta }}}}$ также можно рассматривать как форма для пайки для построения касательного вектора из пары левых и правых спиноров Вейля.^[3]

Конвенции

В квартире Пространство Минковского, Стандартное представление компонентов в терминах Матрицы Паули, следовательно ${\displaystyle \sigma }$ обозначение. В ортонормированном базисе со стандартной спиновой системой обычные компоненты

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{0}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}\ &{\dot {=}}\ \delta _{\alpha {\dot {\beta }}}\,,\\\sigma ^{i}{}_{\alpha {\dot {\beta }}}\ &{\dot {=}}\ (\sigma ^{i})_{\alpha {\dot {\beta }}}\,,\\{\bar {\sigma }}^{0\,{\dot {\alpha }}\beta }\ &{\dot {=}}\ \delta ^{{\dot {\alpha }}\beta }\,,\\{\bar {\sigma }}^{i\,{\dot {\alpha }}\beta }\ &{\dot {=}}\ -(\sigma ^{i})^{{\dot {\alpha }}\beta }\,.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что это блоки гамма-матрицы в Хиральный базис Вейля соглашение. Однако существует множество условностей.^{[который? ][4][5]}

Рекомендации

1. Инфельд, Леопольд; ван дер Варден, Бартель (1933). "Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitätstheorie" (PDF). Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse: 380–401.
2. «Теория инвариантов, тензоры и групповые характеры». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. 239 (807): 305–365. 1944-02-04. Дои:10.1098 / рста.1944.0001. ISSN  0080-4614. JSTOR  91389.
3. Аштекар, Абхай (июль 1991 г.). Лекции о непертурбативной канонической гравитации. Продвинутая серия по астрофизике и космологии. 6. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. Дои:10.1142/1321. ISBN  978-981-02-0573-7.
4. Пенроуз, Роджер; Риндлер, Вольфганг (1984-10-18). Спиноры и пространство-время (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / cbo9780511564048. ISBN  978-0-521-33707-6.
5. Суперпространство, или Тысяча и один урок суперсимметрии. Гейтс, С. Джеймс младший. Ридинг, штат Массачусетс: Benjamin / Cummings Pub. Ко. 1983. arXiv:hep-th / 0108200. ISBN  0-8053-3160-3. OCLC  9371408.