Гипограф (математика) - Hypograph (mathematics)

В математика, то гипограф или подграф из функция ж : р^п → р это набор точек, лежащих на или ниже его график:

${displaystyle {mbox{hyp}}f={(x,mu ),:,xin mathbb {R} ^{n},,mu in mathbb {R} ,,mu leq f(x)}subseteq mathbb {R} ^{n+1}}$

и строгий гипограф функции:

${displaystyle {mbox{hyp}}_{S}f={(x,mu ),:,xin mathbb {R} ^{n},,mu in mathbb {R} ,,mu <f(x)}subseteq mathbb {R} ^{n+1}.}$

Те же определения действительны для функции, которая принимает значения в ℝ ∪ {−∞}. В этом случае эпиграф будет пустой если и только если ж тождественно равна отрицательной бесконечности.

В домен (а не codomain ) функции не имеет особого значения для этого определения; это может быть произвольный набор^[1] вместо того ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

Точно так же набор точек на графике функции или над ним является ее эпиграф.

Свойства

Функция вогнутый тогда и только тогда, когда его гипограф является выпуклый набор. Гипограф реального аффинная функция г : р^п → р это полупространство в р^п+1.

Функция полунепрерывный сверху тогда и только тогда, когда его гипограф закрыто.

Смотрите также

• Эпиграф (математика)

использованная литература

1. Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2007). Бесконечный анализ измерений: автостопом (3-е изд.). Springer Science & Business Media. С. 8–9. ISBN  978-3-540-32696-0.