Гипотеза Хопфа - Hopf conjecture

В математике Гипотеза Хопфа может относиться к одному из нескольких предположительных утверждений из дифференциальная геометрия и топология приписывается Хайнц Хопф.

Римановы многообразия с положительной или отрицательной кривизной

Гипотеза Хопфа - открытая проблема глобальной римановой геометрии. Это возвращается к вопросам Хайнц Хопф с 1931 года. Современная формулировка:

Компактный, ровный Риманово многообразие с положительным секционная кривизна имеет положительный Эйлерова характеристика. Компактная (2d) -мерная Риманово многообразие с отрицательным секционная кривизна имеет Эйлерова характеристика знака ${displaystyle (-1)^{d}}$.

За поверхности эти утверждения следуют из Теорема Гаусса – Бонне. За четырехмерные многообразия, это следует из конечности фундаментальная группа и Двойственность Пуанкаре и Формула Эйлера-Пуанкаре приравнивая к 4-коллектор эйлерова характеристика с ${displaystyle b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}}$ и Теорема Синге убедившись, что крышка ориентации просто подсоединена так, чтобы Бетти числа исчезнуть ${displaystyle b_{1}=b_{3}=0}$. За 4-коллектор, утверждение также следует из Теорема Черна – Гаусса – Бонне. как заметил Джон Милнор в 1955 г. (записано Шиинг-Шен Черн в 1955 г.^[1]). Для многообразий размерности 6 и выше гипотеза открыта. Пример Роберт Герох показали, что интегрант Черна-Гаусса-Бонне может стать отрицательным при ${displaystyle d>2}$.^[2] Однако известно, что случай положительной кривизны имеет место для гиперповерхностей в ${displaystyle mathbb {R} ^{2d+1}}$ (Хопфа) или поверхности коразмерности две, вложенные в ${displaystyle mathbb {R} ^{2d+2}}$.^[3] Для достаточно защемленных многообразий положительной кривизны гипотеза Хопфа (в случае положительной кривизны) следует из Теорема о сфере, теорема, которая также была впервые высказана Хопфом. Одно из направлений атак - поиск многообразий с большей симметрией. В частности, например, все известные многообразия положительной секционной кривизны допускают действие изометрической окружности. Соответствующее векторное поле называется Векторное поле убийства. Гипотеза (для случая положительной кривизны) доказана также для многообразий размерности ${displaystyle 4k+2}$ или же ${displaystyle 4k+4}$ допускающий изометрический действие тора из k-мерный тор и для многообразий M допускающий изометрическое действие компакта Группа Ли грамм с главной подгруппой изотропии ЧАС и когомогенность k такой, что${displaystyle k-(operatorname {rank} G-operatorname {rank} H)leq 5.}$ Некоторые ссылки на многообразия с некоторой симметрией: ^[4] и^[5]

Об истории проблемы: первое письменное явное появление гипотезы содержится в трудах Немецкого математического общества,^[6] это статья, основанная на выступлениях Хайнца Хопфа, которые весной 1931 г. Фрибург, Швейцария и в Бад Эльстер осенью 1931 г. Марсель Бергер обсуждает гипотезу в своей книге,^[7] и указывает на работы Хопфа 1920-х годов, на которые повлияли вопросы такого типа. Гипотезы перечислены как проблема 8 (случай положительной кривизны) и 10 (случай отрицательной кривизны) в "задачах Яу" 1982 года.^[8]

Римановы многообразия с неотрицательной или неположительной кривизной

Существуют аналогичные гипотезы, если кривизна также может стать нулевой. Это утверждение все же следует приписать Хопфу (например, из выступления в 1953 году в Италии).^[9]

Компактный, ровный Риманово многообразие с неотрицательным секционная кривизна имеет неотрицательный Эйлерова характеристика. Компактная (2d) -мерная Риманово многообразие с отрицательным секционная кривизна имеет Эйлерова характеристика знака ${displaystyle (-1)^{d}}$ или ноль.

Эта версия была изложена как вопрос 1 в документе. ^[10] или затем в статье Черна.^[11]

Примером, для которого гипотеза подтверждается, является продукт ${displaystyle M=M_{1} imes M_{2} imes cdots imes M_{d}}$ двумерных многообразий со знаком кривизны ${displaystyle e_{k}in {-1,0,1}}$. Поскольку эйлерова характеристика удовлетворяет ${displaystyle chi (M)=prod _{k=1}^{d}chi (M_{k})}$ который имеет знак ${displaystyle prod _{k=1}^{d}e_{k}}$, гипотеза о знаке в этом случае подтверждается (если ${displaystyle e_{k}>0}$ для всех k, тогда ${displaystyle chi (M)>0}$ и если ${displaystyle e_{k}<0}$ для всех k, тогда ${displaystyle chi (M)>0}$ для даже d и ${displaystyle chi (M)<0}$ для нечетного d, и если один из ${displaystyle e_{k}}$ равно нулю, то ${displaystyle chi (M)=0}$).

Гипотеза о произведении двух сфер

Другой известный вопрос Хопфа - гипотеза произведения Хопфа:

Может ли 4-х коллектор ${displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{2}}$ нести метрику положительной кривизны?

Гипотеза была популяризирована в книге Громоля, Клингенберга и Мейера 1968 года.^[12] и была обозначена как проблема 1 в списке проблем Яу.^[8] Яу сформулировал там новое интересное наблюдение (которое можно переформулировать как гипотезу).

Неизвестно ни одного примера компактного односвязного многообразия неотрицательной секционной кривизны, не допускающего метрики строго положительной кривизны.

В настоящее время 4-сфера ${displaystyle mathbb {S} ^{4}}$ и комплексная проективная плоскость ${displaystyle mathbb {CP} ^{2}}$ являются единственными односвязными 4-многообразиями, которые, как известно, допускают метрику положительной кривизны. Вольфганг Циллер однажды предположил, что это может быть полный список и что в размерности 5 единственное односвязное 5-многообразие положительной кривизны - это 5-сфера. ${displaystyle mathbb {S} ^{5}}$.^[13] Конечно, решение гипотезы о произведении Хопфа решило бы вопрос Яу. Также гипотеза Циллера о том, что ${displaystyle mathbb {S} ^{4}}$ и ${displaystyle mathbb {CP} ^{2}}$ являются единственными односвязными 4-многообразиями положительной кривизны, которые разрешили бы гипотезу произведения Хопфа. Вернуться к делу ${displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{2}}$: известно из работы Жан-Пьер Бургиньон что в окрестности метрики произведения нет метрики положительной кривизны.^[14] Это также известно из работы Алан Вайнштейн что если метрика дана на ${displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{2}}$ существует с положительной кривизной, то это риманово многообразие не может быть вложено в ${displaystyle mathbb {R} ^{6}}$.^[15] (Уже из результата Хопфа следует, что вложение в ${displaystyle mathbb {R} ^{5}}$ невозможно, поскольку в этом случае многообразие должно быть сферой.) Общий справочник для многообразий с неотрицательной секционной кривизной, приводящий множество примеров: ^[16] а также.^[17] Родственная гипотеза состоит в том, что

Компактный симметричное пространство ранга больше единицы не может нести риманову метрику положительной секционной кривизны.

Это также означало бы, что ${displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{2}}$ не признает Риманова метрика с положительной секционной кривизной. Итак, глядя на доказательства и проделанную работу, кажется, что на вопрос Хопфа, скорее всего, будет дан ответ следующим образом: «Не существует метрики положительной кривизны на ${displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{2}}$"потому что до сих пор теоремы Бургиньона (результат возмущения около метрики произведения), Хопфа (коразмерность 1), Вайнштейна (коразмерность 2), а также теорема о сфере исключая метрики защемленной положительной кривизны, указывают на этот результат. Построение метрики положительной кривизны на ${displaystyle mathbb {S} ^{2} imes mathbb {S} ^{2}}$ конечно, было бы сюрпризом для глобальной дифференциальной геометрии, но пока не исключено, что такая метрика существует.

Наконец, можно спросить, зачем может быть интересен такой частный случай, как гипотеза произведения Хопфа. Сам Хопф руководствовался проблемами из физики. Когда Хопф начал работать в середине 1920-х годов, теории относительности было всего 10 лет, и она вызвала большой интерес к дифференциальной геометрии, особенно к глобальной структуре 4-многообразий, поскольку такие многообразия появляются в космологии как модели Вселенная.

(Несвязано :) Гипотеза Терстона об асферических многообразиях

Существует гипотеза, которая относится к гипотезе о знаке Хопфа, но не относится к римановой геометрии. Асферические многообразия - это связные многообразия, для которых все высшие гомотопические группы исчезают. Тогда эйлерова характеристика должна удовлетворять тому же условию, что и отрицательно искривленное многообразие в римановой геометрии:

Предположим, что M^2k закрытый, асферический коллектор четного измерения. Тогда его эйлерова характеристика удовлетворяет неравенству ${displaystyle (-1)^{k}chi (M^{2k})geq 0.}$

Прямого отношения к риманову случаю быть не может, поскольку существуют асферические многообразия, не гомеоморфные гладкому риманову многообразию с отрицательной секционной кривизной.

Эта топологическая версия гипотезы Хопфа возникает из-за Уильям Терстон. Рут Чарни и Майкл Дэвис предположил, что это же неравенство верно для кусочно-евклидова (ПЭ) многообразия неположительной кривизны.

(Несвязано :) Римановы метрики без сопряженных точек

Слово «гипотеза Хопфа» вызвало некоторую путаницу, поскольку математик Эберхард Хопф и современник Хайнца Хопфа работали над такими темами, как геодезические потоки.Эберхард Хопф и Хайнц Хопф не связаны и, возможно, никогда не встречались, даже если они оба были учениками Эрхард Шмидт ). Существует теорема Эберхарда Хопфа, гласящая, что если 2-тор ${displaystyle mathbb {T} ^{2}}$ не имеет сопряженных точек, то он должен быть плоским (кривизна Гаусса везде равна нулю).^[18] Теорема Эберхарда Хопфа обобщила теорему Марстона Морса и Густава Хедлунда (аспиранта Морса), высказанную годом ранее.^[19] Проблема обобщения этого на более высокие измерения в течение некоторого времени также была известна как гипотеза Хопфа. Во всяком случае, теперь это теорема: Риманова метрика без сопряженных точек на n-мерном торе плоская.^[20]

Рекомендации

1. Черн, Шиинг-Шэнь (1966). «О кривизне и характеристических классах риманова многообразия». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 20: 117–126. Дои:10.1007 / BF02960745. МИСТЕР  0075647.
2. Р. Герох, Положительная секционная кривизна не означает положительного подынтегрального выражения Гаусса-Бонне, Proceedings of the AMS, 54, 1976
3. Вайнштейн, Алан (1970). "Положительно искривленные n-многообразия в ${displaystyle mathbb {R} ^{n+2}}$". Журнал дифференциальной геометрии. l4 (1): 1–4. Дои:10.4310 / jdg / 1214429270. МИСТЕР  0264562.
4. Томас Пюттманн и Кэтрин Сирл, Гипотеза Хопфа для многообразий с низкой когомогенностью или высоким рангом симметрии, Труды Американского математического общества 130 (2001), нет. 1, 163–166.
5. Л. Кеннард, "О гипотезе Хопфа с симметрией, геометрия и топология", 17, 2013, страницы 563-593.
6. Хопф, Хайнц (1932), "Дифференциальная геометрия и топологический гештальт", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 41: 209–228
7. Бергер, Марсель (2003). Панорамный вид римановой геометрии. Springer. ISBN  3-540-65317-1.
8. Яу, Шинг-Тунг (1982), «Проблемный раздел», Семинар по дифференциальной геометрии, Анналы математических исследований, 102, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 669–706, ISBN  0-691-08268-5, МИСТЕР  0645728
9. Х. Хопф, Sulla geometria riemanniana globale della superficie, Rendiconti del Seminario matematico e fisico di Milano, 1953, страницы 48-63
10. Р.Л. Бишоп и С.И. Голдберг, Некоторые следствия обобщенной теоремы Гаусса-Бонне, Транзакции AMS, 112, страницы 508-545, 1964
11. SS. Черн, Геометрия G-структур, Бюллетень Американского математического общества, 72, страницы 167-2019, 1966
12. Громоль, Детлеф; Клингенберг, Вильгельм; Мейер, Вольфганг (1968). Riemannsche Geometrie im Grossen. Конспект лекций по математике. 55. Берлин-Нью-Йорк: Springer Verlag. МИСТЕР  0229177.
13. В. Циллер, Римановы многообразия с положительной секционной кривизной, Лекция, прочитанная в Гуанахуато в 2010 г. в: Геометрия многообразий с неотрицательной секционной кривизной, Springer, 2014 г.
14. Бургиньон, Жан-Пьер (1975), "Некоторые конструкции, связанные с гипотезой Х. Хопфа о многообразиях-произведениях", Дифференциальная геометрия, Труды симпозиумов по чистой математике, 27, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 33–37, МИСТЕР  0380906
15. Вайнштейн, Алан (1970). "Положительно изогнутый п-многообразия в ${displaystyle mathbb {R} ^{n+2}}$". Журнал дифференциальной геометрии. 4 (1): 1–4. Дои:10.4310 / jdg / 1214429270. МИСТЕР  0264562.
16. Вольфганг Циллер, Примеры римановых многообразий с неотрицательной секционной кривизной, Surf. Отличаются. Геом, 11, страницы 63-102, International Press, 2007
17. К. Эшер и В. Циллер, Топология многообразий неотрицательной кривизны », Annals of Global Analysis and geometry, 46, страницы 23-55, 2014
18. Э. Хопф, Замкнутые поверхности без сопряженных точек, Proc. Nat. Акад. Sci, USA, 34, стр. 47-51 (1948).
19. М. Морс, Г.А. Хедлунд, Многообразия без сопряженных точек, Пер. Являюсь. Math.Soc., 51, страницы 362-386, 1942
20. Дмитрий Бураго и Сергей Иванов, Римановы торы без сопряженных точек плоские, Геометрический и функциональный анализ 4 (1994), нет. 3, 259-269, Дои: 10.1007 / BF01896241, МИСТЕР1274115.