Сфера гомологии - Homology sphere

В алгебраическая топология, а сфера гомологии является п-многообразие Икс имея группы гомологии из п-сфера, для некоторого целого числа ${ Displaystyle п geq 1}$ . То есть,

{ displaystyle H_ {0} (X, mathbb {Z}) = H_ {n} (X, mathbb {Z}) = mathbb {Z}}

и

{ Displaystyle Н_ {я} (Х, mathbb {Z}) = {0 }}

для всех остальных я.

Следовательно Икс это связанное пространство, с одним ненулевым выше Бетти номер, а именно ${ displaystyle b_ {n} = 1}$ . Из этого не следует, что Икс является односвязный, только это фундаментальная группа является идеально (видеть Теорема Гуревича ).

А сфера рациональных гомологий определяется аналогично, но с использованием гомологий с рациональными коэффициентами.

Сфера гомологии Пуанкаре

Гомологическая сфера Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером гомологической сферы, впервые построенной Анри Пуанкаре. Быть сферический 3-х коллектор, это единственная гомологическая 3-сфера (кроме 3-сфера себя) с конечным фундаментальная группа. Его основная группа известна как бинарная группа икосаэдра и имеет порядок 120. Это показывает Гипотеза Пуанкаре не могут быть сформулированы только в терминах гомологии.

Строительство

Простое строительство этого пространства начинается с додекаэдр. Каждая грань додекаэдра идентифицируется с его противоположной гранью, используя минимальный поворот по часовой стрелке, чтобы выровнять грани. Склейка каждая пара противоположных граней вместе с использованием этой идентификации дает замкнутое 3-многообразие. (Видеть Пространство Зейферта – Вебера для аналогичной конструкции, используя больше "скручивания", что приводит к гиперболическое 3-многообразие.)

С другой стороны, гомологическую сферу Пуанкаре можно построить как факторное пространство ТАК (3) / I где я группа икосаэдров (т. е. вращательный группа симметрии регулярного икосаэдр и додекаэдр, изоморфный переменная группа ${ displaystyle A_ {5}}$ ). Более интуитивно это означает, что сфера гомологии Пуанкаре - это пространство всех геометрически различимых положений икосаэдра (с фиксированным центром и диаметром) в трехмерном евклидовом пространстве. Также можно перейти к универсальный чехол SO (3), которая может быть реализована как группа единиц кватернионы и является гомеоморфный в 3-ю сферу. В этом случае сфера гомологий Пуанкаре изоморфна ${ displaystyle S ^ {3} / { widetilde {I}}}$ куда ${ displaystyle { widetilde {I}}}$ это бинарная группа икосаэдра, Идеальный двойная крышка я встроенный в ${ Displaystyle S ^ {3}}$ .

Другой подход - Хирургия Дена. Сфера гомологии Пуанкаре является результатом +1 операции на правой трилистник.

Космология

В 2003 г. отсутствие структуры в крупнейших масштабах (выше 60 градусов) в космический микроволновый фон как наблюдалось в течение одного года WMAP космический корабль привел к предположению, Жан-Пьер Люмине из Observatoire de Paris и коллеги, что форма вселенной сфера Пуанкаре.^[1]^[2] В 2008 году астрономы нашли лучшую ориентацию на небе для модели и подтвердили некоторые предсказания модели, используя трехлетние наблюдения с космического корабля WMAP.^[3]По состоянию на 2016 год публикация анализа данных из Космический корабль Планк предполагает, что нет наблюдаемой нетривиальной топологии Вселенной.^[4]

Конструкции и примеры

Операция на узле в 3-х сферах S³ с оснащением +1 или −1 дает сферу гомологии.
В более общем смысле, перестройка зацепления дает сферу гомологии всякий раз, когда матрица, заданная числами пересечения (не по диагонали) и оснащениями (по диагонали), имеет определитель +1 или -1.
Если п, q, и р - попарно взаимно простые положительные целые числа, то звено особенности Икс^п + у^q + z^р = 0 (другими словами, пересечение небольшой 5-сферы вокруг 0 с этой комплексной поверхностью) является Коллектор Брискорна это гомологическая 3-сфера, называемая Brieskorn 3-сфера Σ (п, q, р). Он гомеоморфен стандартной 3-сфере, если одна из п, q, и р равно 1, а Σ (2, 3, 5) - сфера Пуанкаре.
В связанная сумма двух ориентированных гомологических 3-сфер является гомологической 3-сферой. Гомологическая 3-сфера, которую нельзя записать как связную сумму двух гомологических 3-сфер, называется несводимый или же основной, и каждая гомологическая 3-сфера может быть записана как связная сумма первичных гомологических 3-сфер существенно уникальным образом. (Видеть Разложение на простые числа (3-многообразие).)
Предположим, что ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {r}}$ - целые числа, все не менее 2 таких, что любые два взаимно просты. Тогда Волоконное пространство Зейферта

{ displaystyle {b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), dots, (a_ {r}, b_ {r}) } ,}

над сферой с исключительными слоями степеней а₁, ..., а_р является гомологической сферой, где б 's выбраны так, чтобы

{ displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + cdots + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} cdots a_ {r}).}

(Всегда есть возможность выбрать б′ S, а сфера гомологий не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора б'S.) Если р не больше 2, это обычная 3-сфера; в противном случае они являются различными нетривиальными гомологическими сферами. Если а'S равны 2, 3 и 5, что дает сферу Пуанкаре. Если есть хотя бы 3 а′ S, а не 2, 3, 5, то это ациклическая гомологическая 3-сфера с бесконечной фундаментальной группой, которая имеет Геометрия терстона по образцу универсальной обложки SL₂(р).

Инварианты

В Инвариант Рохлина это ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ -значный инвариант гомологических 3-сфер.
В Инвариант Кэссона является целочисленным инвариантом гомологических 3-сфер, редукция которого по модулю 2 является инвариантом Рохлина.

Приложения

Если А является гомологической 3-сферой, не гомеоморфной стандартной 3-сфере, то приостановка из А является примером 4-мерного многообразие гомологий это не топологическое многообразие. Двойная подвеска А гомеоморфна стандартной 5-сфере, но ее триангуляция (вызванный некоторой триангуляцией А) это не Коллектор PL. Другими словами, это пример конечного симплициальный комплекс это топологическое многообразие, но не PL-многообразие. (Это не PL-многообразие, потому что связь точки не всегда является 4-сферой.)

Галевский и Стерн показали, что все компактные топологические многообразия (без края) размерности не менее 5 гомеоморфны симплициальным комплексам если и только если существует гомология 3-сфера Σ с Инвариант Рохлина 1 такой, что связанная сумма Σ # Σ множества Σ ограничивает собой гладкое ациклическое 4-многообразие. По состоянию на 2013 год^{[Обновить]} существование такой гомологической 3-сферы было нерешенной проблемой. 11 марта 2013 г. Чиприан Манолеску разместил препринт на ArXiv^[5] утверждая, что не существует такой гомологической сферы с данным свойством, а значит, существуют 5-многообразия, не гомеоморфные симплициальным комплексам. В частности, пример, первоначально приведенный Галевски и Стерном (см. Галевский и Стерн, Универсальное 5-многообразие относительно симплициальных триангуляций, в Геометрической топологии (Proceedings Georgia Topology Conference, Athens Georgia, 1977, Academic Press, New York, pp 345). –350)) не является триангулируемым.

Смотрите также

Выбранное чтение

Дрор, Эммануэль (1973). «Сферы гомологии». Израильский математический журнал. 15: 115–129. МИСТЕР 0328926.
Дэвид Галевски, Рональд Стерн Классификация симплициальных триангуляций топологических многообразий, Анналы математики 111 (1980), нет. 1. С. 1–34.
Робион Кирби, Мартин Шарлеманн, Восемь граней гомологии 3-сферы Пуанкаре. Геометрическая топология (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Академическая пресса, Нью-Йорк-Лондон, 1979.
Кервер, Мишель (1969). «Гладкие гомологические сферы и их фундаментальные группы». Труды Американского математического общества. 144: 67–72. JSTOR 1995269. МИСТЕР 0253347.
Николай Савельев, Инварианты гомологий 3-сфер, Энциклопедия математических наук, том 140. Низкоразмерная топология, I. Springer-Verlag, Берлин, 2002. МИСТЕР1941324 ISBN 3-540-43796-7

внешняя ссылка

[physwebLum03-1] "Является ли вселенная додекаэдром?", статья на PhysicsWorld.

[Nat03-2] Люмине, Жан-Пьер; Недели, Джефф]]; Риазуэло, Ален; Лехук, Роланд; Узан, Жан-Филипп (09.10.2003). «Топология додекаэдрического пространства как объяснение слабых широкоугольных температурных корреляций в космическом микроволновом фоне». Природа. 425 (6958): 593–595. arXiv:Astro-ph / 0310253. Bibcode:2003Натура.425..593л. Дои:10.1038 / природа01944. PMID 14534579.

[RBSG08-3] Рукема, Будевейн; Булински, Збигнев; Сзаневска, Агнешка; Годен, Николас Э. (2008). «Проверка гипотезы топологии додекаэдрического пространства Пуанкаре с данными CMB WMAP». Астрономия и астрофизика. 482 (3): 747–753. arXiv:0801.0006. Bibcode:2008A & A ... 482..747L. Дои:10.1051/0004-6361:20078777.

[4] Planck Collaboration »,Результаты Planck 2015. XVIII. Геометрия и топология фона ", (2015) ArXiv 1502.01593

[5] Манолеску, Чиприан. "Пин (2) -эквивариантные гомологии Зайберга-Виттена Флоера и гипотеза триангуляции". arXiv:1303.2354. Появиться в Журнале АПП.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]