Модульное многообразие Гильберта - Hilbert modular variety

В математике Модульная поверхность Гильберта или же Поверхность Гильберта – Блюменталя является алгебраическая поверхность полученный путем деления продукта на две копии верхняя полуплоскость по Модульная группа Гильберта. В более общем плане Модульное многообразие Гильберта является алгебраическое многообразие получается путем факторизации произведения кратных копий верхней полуплоскости на гильбертову модулярную группу.

Модульные поверхности Гильберта были впервые описаны Отто Блюменталем (1903, 1904 ) с использованием некоторых неопубликованных заметок, написанных Дэвид Гильберт лет 10 назад.

Определения

Если р это кольцо целых чисел настоящего квадратичное поле, то гильбертова модулярная группа SL₂(р) действует на продукте ЧАС×ЧАС двух экземпляров верхней полуплоскости ЧАС.Есть несколько бирационально эквивалентный поверхности, связанные с этим действием, любую из которых можно назвать Гильбертовые модульные поверхности:

• Поверхность Икс является частным от ЧАС×ЧАС автор: SL₂(р); он не компактен и обычно имеет фактор-особенности, происходящие из точек с нетривиальными группами изотропии.
• Поверхность Икс^* получается из Икс добавлением конечного числа точек, соответствующих куспиды действия. Он компактен и имеет не только фактор-особенности Икс, но и особенности на его вершинах.
• Поверхность Y получается из Икс^* разрешив особенности минимальным образом. Это компактный гладкий алгебраическая поверхность, но в целом не является минимальным.
• Поверхность Y⁰ получается из Y путем уничтожения некоторых исключительных −1-кривых. Он гладкий и компактный, часто (но не всегда) минимальный.

Есть несколько вариаций этой конструкции:

• Модулярная группа Гильберта может быть заменена некоторой подгруппой конечного индекса, такой как подгруппа конгруэнции.
• Можно расширить модулярную группу Гильберта группой порядка 2, действуя на модулярную группу Гильберта посредством действия Галуа и меняя две копии верхней полуплоскости.

Особенности

Хирцебрух (1953) показал, как разрешить фактор-особенности, и Хирцебрух (1971) показали, как разрешить их особенности изгиба.

Классификация поверхностей

Бумаги Хирцебрух (1971), Хирцебрух и Ван де Вен (1974) и Хирцебрух и Загир (1977) определили их тип в классификация алгебраических поверхностей. Большинство из них поверхности общего типа, но некоторые из них рациональные поверхности или взорвали K3 поверхности или же эллиптические поверхности.

Примеры

ван дер Гир (1988) дает длинную таблицу примеров.

В Поверхность Клебша раздутая в 10 точках Эккарда является гильбертовой модулярной поверхностью.

Связано с квадратичным расширением поля

Учитывая квадратичное расширение поля ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ за ${\displaystyle p=4k+1}$ существует ассоциированное гильбертово модулярное многообразие ${\displaystyle Y(p)}$ полученный компактификацией определенного факторного многообразия ${\displaystyle X(p)}$ и устранение его особенностей. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ обозначим верхнюю полуплоскость и пусть ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{K})/\{\pm {\text{Id}}_{2}\}}$ действовать на ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}}$ через

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z_{1},z_{2})=\left({\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}},{\frac {a'z_{1}+b'z_{2}}{c'z_{1}+d'z_{2}}}\right)}$

где ${\displaystyle a',b',c',d'}$ являются Конъюгаты Галуа.^[1] Соответствующее фактормногообразие обозначается

${\displaystyle X(p)=G\backslash {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}}$

и может быть компактифицирован до множества ${\displaystyle {\overline {X}}(p)}$, называется куспиды, которые находятся в противоречии с идеальные классы в ${\displaystyle {\text{Cl}}({\mathcal {O}}_{K})}$. Разрешение его особенностей дает разнообразие ${\displaystyle Y(p)}$ называется Гильбертово модулярное многообразие расширения поля. Из теоремы Бейли-Бореля о компактификации существует вложение этой поверхности в проективное пространство.^[2]

Смотрите также

• Модульная форма Гильберта
• Модульная поверхность Picard
• Модульное разнообразие Siegel

Рекомендации

1. Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А. М .; Достопочтенный Антониус (2004). Компактные сложные поверхности. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 231. Дои:10.1007/978-3-642-57739-0. ISBN  978-3-540-00832-3.
2. Baily, W. L .; Борель, А. (ноябрь 1966 г.). «Компактификация арифметических факторов ограниченных симметричных областей». Анналы математики. 84 (3): 442. Дои:10.2307/1970457. JSTOR  1970457.

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, Дои:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN  978-3-540-00832-3, МИСТЕР  2030225
• Блюменталь, Отто (1903), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen", Mathematische Annalen, 56 (4): 509–548, Дои:10.1007 / BF01444306, S2CID  122293576
• Блюменталь, Отто (1904), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen", Mathematische Annalen, 58 (4): 497–527, Дои:10.1007 / BF01449486, S2CID  179178108
• Хирцебрух, Фридрих (1953), "Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen, 126 (1): 1–22, Дои:10.1007 / BF01343146, HDL:21.11116 / 0000-0004-3A47-C, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0062842, S2CID  122862268
• Хирцебрух, Фридрих (1971), «Модулярная группа Гильберта, разрешение особенностей в точках возврата и связанные с этим проблемы», Семинар Бурбаки, 23 года (1970/1971), Опыт. № 396, Конспект лекций по математике, 244, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 275–288, Дои:10.1007 / BFb0058707, ISBN  978-3-540-05720-8, МИСТЕР  0417187
• Хирцебрух, Фридрих Э. П. (1973), "Модульные поверхности Гильберта", L'Enseignement Mathématique, IIe Série, 19: 183–281, Дои:10.5169 / пломбы-46292, ISSN  0013-8584, МИСТЕР  0393045
• Хирцебрух, Фридрих; Ван де Вен, Антониус (1974), «Гильбертовые модулярные поверхности и классификация алгебраических поверхностей», Inventiones Mathematicae (Представлена ​​рукопись), 23 (1): 1–29, Дои:10.1007 / BF01405200, HDL:21.11116 / 0000-0004-39A4-3, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0364262, S2CID  73577779
• Хирцебрух, Фридрих; Загир, Дон (1977), "Классификация гильбертовых модулярных поверхностей", в Baily, W. L .; Шиода., Т. (ред.), Комплексный анализ и алгебраическая геометрия, Tokyo: Iwanami Shoten, pp. 43–77, ISBN  978-0-521-09334-7, МИСТЕР  0480356
• ван дер Гир, Жерар (1988), Гильбертовые модульные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 16, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-61553-5, ISBN  978-3-540-17601-5, МИСТЕР  0930101

внешняя ссылка

• Элен, С., Краткое введение в модулярные поверхности Гильберта и циклы Хирцебруха-Загье (PDF)