Программа Гильберта - Hilberts program

В математика, Программа Гильберта, сформулированный Немецкий математик Дэвид Гильберт в начале 20-го века было предложено решение фундаментальный кризис математики, когда первые попытки уточнить основы математики были обнаружены парадоксы и несоответствия. В качестве решения Гильберт предложил обосновать все существующие теории конечным полным набором аксиомы, и предоставить доказательство того, что эти аксиомы были последовательный. Гильберт предположил, что согласованность более сложных систем, таких как реальный анализ, можно было бы проверить с точки зрения более простых систем. В конце концов, последовательность всей математики может быть сведена к основному арифметика.

Теоремы Гёделя о неполноте, опубликованная в 1931 году, показала, что программа Гильберта недостижима для ключевых областей математики. В своей первой теореме Гёдель показал, что любая согласованная система с вычислимым набором аксиом, способным выражать арифметику, никогда не может быть полной: можно построить утверждение, которое может быть доказано, что оно истинно, но которое не может быть выведено из формальные правила системы. В своей второй теореме он показал, что такая система не может доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому ее, конечно, нельзя использовать для достоверного доказательства непротиворечивости чего-либо более сильного. Это опровергло предположение Гильберта о том, что конечная система может использоваться для доказательства непротиворечивости самой себя и, следовательно, всего остального.

Утверждение программы Гильберта

Основная цель программы Гильберта заключалась в обеспечении надежной основы для всей математики. В частности, это должно включать:

  • Формулировка всей математики; Другими словами, все математические утверждения должны быть написаны точно формальный язык и манипулируют в соответствии с четко определенными правилами.
  • Полнота: доказательство того, что все истинные математические утверждения могут быть доказаны в формализме.
  • Непротиворечивость: доказательство того, что в формализме математики нет противоречия. Это доказательство непротиворечивости предпочтительно должно использовать только «конечные» рассуждения о конечных математических объектах.
  • Сохранение: доказательство того, что любой результат о «реальных объектах», полученный с помощью рассуждений об «идеальных объектах» (таких как бесчисленные множества), может быть доказан без использования идеальных объектов.
  • Разрешимость: должен быть алгоритм для определения истинности или ложности любого математического утверждения.

Теоремы Гёделя о неполноте

Основная статья: Теоремы Гёделя о неполноте

Курт Гёдель показал, что большинство целей программы Гильберта невозможно достичь, по крайней мере, при наиболее очевидной интерпретации. Вторая теорема Гёделя о неполноте показывает, что любая непротиворечивая теория, достаточно мощная, чтобы кодировать сложение и умножение целых чисел, не может доказать свою непротиворечивость. Это представляет проблему для программы Гильберта:

  • Невозможно формализовать все математические истинные утверждения в формальной системе, так как любая попытка такого формализма будет опускать некоторые истинные математические утверждения. Не существует полного, последовательного расширения даже Арифметика Пеано на основе рекурсивно перечислимого набора аксиом.
  • Такая теория, как арифметика Пеано, не может даже доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому ее ограниченное «конечное» подмножество определенно не может доказать непротиворечивость более мощных теорий, таких как теория множеств.
  • Не существует алгоритма для определения истинности (или доказуемости) утверждений в любом последовательном расширении арифметики Пеано. Строго говоря, это отрицательное решение Entscheidungsproblem появился через несколько лет после теоремы Гёделя, потому что в то время понятие алгоритма не было точно определено.

Программа Гильберта после Гёделя

Многие текущие направления исследований в математическая логика, Такие как теория доказательств и обратная математика, можно рассматривать как естественное продолжение исходной программы Гильберта. Многое из этого можно спасти, слегка изменив цели (Zach 2005), и со следующими модификациями некоторые из них были успешно выполнены:

  • Хотя формализовать не представляется возможным все математики, можно формализовать практически всю математику, которую кто-либо использует. Особенно Теория множеств Цермело – Френкеля, в сочетании с логика первого порядка, дает удовлетворительный и общепринятый формализм почти для всей современной математики.
  • Хотя невозможно доказать полноту для систем, которые могут выражать по крайней мере арифметику Пеано (или, в более общем смысле, которые имеют вычислимый набор аксиом), возможно доказать формы полноты для многих других интересных систем. Пример нетривиальной теории, для которой полнота доказана теория алгебраически замкнутые поля из данного характеристика.
  • На вопрос о том, существуют ли доказательства финитарной непротиворечивости сильных теорий, трудно ответить, главным образом потому, что не существует общепринятого определения «финитарного доказательства». Большинство математиков в теории доказательств, кажется, считают, что конечная математика содержится в арифметике Пеано, и в этом случае невозможно дать конечные доказательства достаточно сильных теорий. С другой стороны, сам Гёдель предположил возможность предоставления доказательств финитарной непротиворечивости с использованием финитарных методов, которые не могут быть формализованы в арифметике Пеано, поэтому он, похоже, имел более либеральное представление о том, какие финитные методы могут быть разрешены. Несколькими годами позже, Gentzen дал доказательство непротиворечивости для арифметики Пеано. Единственная часть этого доказательства, которая явно не была окончательной, была определенная трансфинитная индукция вверх к порядковый ε0. Если эту трансфинитную индукцию принять как конечный метод, то можно будет утверждать, что существует конечное доказательство непротиворечивости арифметики Пеано. Более мощные подмножества арифметики второго порядка получили доказательства совместимости Гайси Такеути и другие, и снова можно спорить о том, насколько окончательны или конструктивны эти доказательства. (Теории, непротиворечивость которых была доказана этими методами, довольно сильны и включают большую часть "обычной" математики.)
  • Хотя в арифметике Пеано нет алгоритма для определения истинности утверждений, существует множество интересных и нетривиальных теорий, для которых такие алгоритмы были найдены. Например, Тарский нашел алгоритм, который может определить истинность любого утверждения в аналитическая геометрия (точнее, он доказал, что теория вещественных замкнутых полей разрешима). Учитывая Аксиома Кантора – Дедекинда, этот алгоритм можно рассматривать как алгоритм определения истинности любого утверждения в Евклидова геометрия. Это существенно, поскольку мало кто считает евклидову геометрию тривиальной теорией.

Смотрите также

Рекомендации

  • Г. Генцен, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112: 493–565. Переводится как «Непротиворечивость арифметики», в Сборник статей Герхарда Гентцена, М. Э. Сабо (ред.), 1969.
  • Д. Гильберт. «Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre». Mathematische Annalen 104: 485–94. Перевод У. Эвальда как «Основание элементарной теории чисел», стр. 266–273 в Mancosu (редактор, 1998). От Брауэра до Гильберта: дебаты об основах математики в 1920-х годах, Oxford University Press. Нью-Йорк.
  • С.Г. Симпсон, 1988. Частичные реализации программы Гильберта. Журнал символической логики 53:349–363.
  • Р. Зак, 2006. Программа Гильберта тогда и сейчас. Философия логики 5:411–447, arXiv: math / 0508572 [math.LO].

внешняя ссылка

  • Ричард Зак. «Программа Гильберта». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.