Теорема Гёльдерса - Hölders theorem

В математика, Теорема Гёльдера заявляет, что гамма-функция не удовлетворяет ни одному алгебраическое дифференциальное уравнение коэффициенты которого равны рациональные функции. Этот результат был впервые доказан Отто Гёльдер в 1887 г .; Впоследствии было найдено несколько альтернативных доказательств.^[1]

Теорема также обобщается на ${\displaystyle q}$-гамма-функция.

Формулировка теоремы

Для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ нет ненулевого многочлена ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}$ такой, что

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)=0,}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция. ${\displaystyle \quad \blacksquare }$

Например, определите ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},Y_{2}]}$ к

${\displaystyle P~{\stackrel {\text{df}}{=}}X^{2}Y_{2}+XY_{1}+(X^{2}-\nu ^{2})Y_{0}.}$

Тогда уравнение

${\displaystyle P\left(z;f(z),f'(z),f''(z)\right)=z^{2}f''(z)+zf'(z)+\left(z^{2}-\nu ^{2}\right)f(z)\equiv 0}$

называется алгебраическое дифференциальное уравнение, которая в данном случае имеет решения ${\displaystyle f=J_{\nu }}$ и ${\displaystyle f=Y_{\nu }}$ - функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Следовательно, мы говорим, что ${\displaystyle J_{\nu }}$ и ${\displaystyle Y_{\nu }}$ находятся дифференциально-алгебраический (также алгебраически трансцендентный). Большинство известных специальных функций математической физики являются дифференциально-алгебраическими. Все алгебраические комбинации дифференциально-алгебраических функций являются дифференциально-алгебраическими. Более того, все композиции дифференциально-алгебраических функций дифференциально-алгебраичны. Теорема Гёльдера просто утверждает, что гамма-функция, ${\displaystyle \Gamma }$, не является дифференциально-алгебраической и поэтому трансцендентно трансцендентный.^[2]

Доказательство

Позволять ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ и предположим, что ненулевой многочлен ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}$ существует такое, что

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)=0.}$

Как ненулевой многочлен от ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ никогда не может привести к нулевой функции на любой непустой открытой области ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (по основной теореме алгебры) мы можем предположить, не ограничивая общности, что ${\displaystyle P}$ содержит мономиальный член, имеющий ненулевую степень одной из неопределенных ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$.

Предположим также, что ${\displaystyle P}$ имеет самую низкую возможную общую степень в отношении лексикографического упорядочения ${\displaystyle Y_{0}<Y_{1}<\ldots <Y_{n}<X.}$ Например,

${\displaystyle \deg \left(-3X^{10}Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}\right)<\deg \left(2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}\right)}$

потому что высшая сила ${\displaystyle Y_{0}}$ в любом одночлене первого многочлена меньше, чем второго многочлена.

Затем обратите внимание, что для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$ у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(z+1;\Gamma (z+1),\Gamma '(z+1),\Gamma ''(z+1),\ldots ,\Gamma ^{(n)}(z+1)\right)&=P\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]',[z\Gamma (z)]'',\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\&=P\left(z+1;z\Gamma (z),z\Gamma '(z)+\Gamma (z),z\Gamma ''(z)+2\Gamma '(z),\ldots ,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1)}}(z)\right).\end{aligned}}}$

Если мы определим второй многочлен ${\displaystyle Q\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}$ преобразованием

${\displaystyle Q{\stackrel {\text{df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1}),}$

то получаем следующее алгебраическое дифференциальное уравнение для ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad Q\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)\equiv 0.}$

Кроме того, если ${\displaystyle X^{h}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}}$ является мономом наивысшей степени в ${\displaystyle P}$, то мономиальный член высшей степени в ${\displaystyle Q}$ является

${\displaystyle X^{h+h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}.}$

Следовательно, многочлен

${\displaystyle Q-X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}P}$

имеет меньшую общую степень, чем ${\displaystyle P}$, и поскольку он явно приводит к алгебраическому дифференциальному уравнению для ${\displaystyle \Gamma }$, он должен быть нулевым многочленом по предположению минимальности ${\displaystyle P}$. Следовательно, определяя ${\displaystyle R\in \mathbb {C} [X]}$ к

${\displaystyle R{\stackrel {\text{df}}{=}}X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}},}$

мы получили

${\displaystyle Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).}$

Теперь позвольте ${\displaystyle X=0}$ в ${\displaystyle Q}$ чтобы получить

${\displaystyle Q(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=P(1;0,Y_{0},2Y_{1},\ldots ,nY_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.}$

Тогда замена переменных дает

${\displaystyle P(1;0,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]},}$

и применение математической индукции (вместе с заменой переменных на каждом шаге индукции) к предыдущему выражению

${\displaystyle P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})}$

показывает, что

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} :\qquad P(m;0,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.}$

Это возможно, только если ${\displaystyle P}$ делится на ${\displaystyle Y_{0}}$, что противоречит предположению минимальности ${\displaystyle P}$. Следовательно, таких ${\displaystyle P}$ существует, и поэтому ${\displaystyle \Gamma }$ не является дифференциально-алгебраическим.^[2][3] Q.E.D.

Рекомендации

1. Банк, Стивен Б. и Кауфман, Роберт. «Замечание к теореме Гёльдера о гамма-функции ”, Mathematische Annalen, том 232, 1978.
2. Рубель, Ли А. «Обзор трансцендентно трансцендентных функций», Американский математический ежемесячник 96: pp. 777-788 (ноябрь 1989 г.). JSTOR  2324840
3. Борос, Джордж и Молл, Виктор. Непреодолимые интегралы, Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 декабря 2011 г. Дои:10.1017 / CBO9780511617041.003