Навигация по большому кругу - Great-circle navigation

Для навигации по эллипсоиду см. Геодезические на эллипсоиде.

Ортодромный курс нарисован на земном шаре.

Навигация по большому кругу или же ортодромная навигация (относится к ортодромический курс; от Греческий ορθóς, прямой угол, и δρóμος, путь) - это практика навигация судно (a корабль или же самолет ) вдоль большой круг. Такие маршруты дают кратчайшие расстояние между двумя точками земного шара.^[1]

Курс

Рис. 1. Путь по большому кругу между (φ₁, λ₁) и (φ₂, λ₂).

Путь большого круга можно найти, используя сферическая тригонометрия; это сферическая версия обратная геодезическая задача.Если навигатор начинается в п₁ = (φ₁, λ₁) и планирует путешествие по большому кругу в точку в точку п₂ = (φ₂, λ₂) (см. рис.1, φ - широта, положительное значение на север, а λ - долгота, положительное значение на восток), начальный и конечный курсы α₁ и α₂ даны формулы решения сферического треугольника

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

где λ₁₂ = λ₂ - λ₁^{[примечание 1]}и квадранты α₁, α₂ определяются знаками числителя и знаменателя в касательных формулах (например, с помощью atan2 функция). центральный угол между двумя точками σ₁₂, дан кем-то

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[заметка 2][заметка 3]}

(Числитель этой формулы содержит величины, которые использовались для определения α₁.) Тогда расстояние по большому кругу будет s₁₂ = рσ₁₂, куда р - предполагаемый радиус Земли, а σ₁₂ выражается в радианы.С использованием средний радиус Земли, р = р₁ ≈ 6,371 км (3959 миль) дает результаты для расстояния s₁₂ которые находятся в пределах 1% отгеодезическое расстояние для WGS84 эллипсоид.

Поиск путевых точек

Чтобы найти путевые точки, то есть положения выбранных точек на большом круге междуп₁ и п₂, мы сначала экстраполируем большой круг обратно на его узел А, точка, в которой большой круг пересекает экватор в северном направлении: пусть долгота этой точки будет λ₀ - см. Рис. 1. Азимут в этой точке α₀, дан кем-то

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^{[примечание 4]}

Пусть угловые расстояния по большому кругу от А к п₁ и п₂ быть σ₀₁ и σ₀₂ соответственно. Затем используя Правила Напьера у нас есть

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Если φ₁ = 0 и α₁ = ​¹⁄₂π, используйте σ₀₁ = 0).

Это дает σ₀₁, откуда σ₀₂ = σ₀₁ + σ₁₂.

Долгота в узле находится из

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

Рис. 2. Путь по дуге большого круга между узлом (пересечение экватора) и произвольной точкой (φ, λ).

Наконец, вычислите положение и азимут в произвольной точке, п (см. рис. 2), сферическим вариантом прямая геодезическая задача.^{[примечание 5]} Правила Непьера дают

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[примечание 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

В atan2 функция должна использоваться для определения σ₀₁, λ и α. Например, чтобы найти середину пути, подставьте σ =¹⁄₂(σ₀₁ + σ₀₂); или найти точку на расстоянии d из начальной точки возьмем σ = σ₀₁ + d/р. Точно так же вершина, точка наибольшей широты на большой окружности, находится заменой σ = +¹⁄₂π. Для параметризации маршрута по долготе может быть удобно использовать

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[примечание 7]}

Широты через равные интервалы долготы могут быть найдены, а полученные положения перенесены на карту Меркатора, что позволяет аппроксимировать большой круг серией румба. Определенный таким образом путь дает большой эллипс соединение конечных точек при условии координат ${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$интерпретируются как географические координаты на эллипсоиде.

Эти формулы применимы к сферической модели Земли. Они также используются при решении большого круга на вспомогательная сфера который является устройством для поиска кратчайшего пути, или геодезический, онан эллипсоид вращения; посмотреть статью о геодезические на эллипсоиде.

Пример

Вычислить маршрут большого круга от Вальпараисо, φ₁ = −33 °, λ₁ = −71,6 °, доШанхай, φ₂ = 31,4 °, λ₂ = 121.8°.

Формулы для курса и расстояния дают λ₁₂ = −166.6°,^{[примечание 8]}α₁ = −94,41 °, α₂ = −78,42 °, а σ₁₂ = 168,56 °. Принимая радиус земли бытьр = 6371 км, расстояниеs₁₂ = 18743 км.

Чтобы вычислить точки на маршруте, сначала найдите α₀ = −56,74 °, σ₁ = −96,76 °, σ₂ = 71,8 °, λ₀₁ = 98,07 ° и λ₀ = −169,67 °. Затем для вычисления средней точки маршрута (например) возьмите σ =¹⁄₂(σ₁ + σ₂) = −12,48 °, и решаем для φ = −6,81 °, λ = −159,18 ° и α = −57,36 °.

Если геодезическая рассчитана точно на WGS84 эллипсоид,^[4] результат α₁ = −94,82 °, α₂ = −78.29 °, иs₁₂ = 18752 км. Середина геодезической: φ = −7,07 °, λ = −159,31 °, α = −57,45 °.

Гномоническая карта

Прямая линия, проведенная на гномоническая карта был бы отличный круговой трек. Когда это передается в График Меркатора, он становится кривой. Позиции переносятся с удобным интервалом долгота и это нанесено на карту Меркатора.

Смотрите также

• Картушка
• Большой круг
• Расстояние большого круга
• Большой эллипс
• Геодезические на эллипсоиде
• Географическое расстояние
• Изоазимутал
• Локсодромная навигация
• карта
  • Карта Портолана
• Морские песочные часы
• Линия румба
• Сферическая тригонометрия
• Сеть Роза ветров

Примечания

1. В статье о расстояния по дуге, обозначение Δλ = λ₁₂и Δσ = σ₁₂ используется. Обозначения в этой статье необходимы для устранения различий между другими точками, например, λ₀₁.
2. Более простая формула

   ${\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}$

   однако это менее точно, если σ₁₂ маленький.
3. Эти уравнения для α₁, α₂, σ₁₂ подходят для реализации на современных калькуляторах и компьютерах. Для ручных вычислений с логарифмами,Деламбре аналогии^[2] обычно использовались:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}$

   Маккоу^[3] ссылается на эти уравнения как на находящиеся в «логарифмической форме», имея в виду, что все тригонометрические термины появляются как произведения; это сводит к минимуму количество требуемых поисков в таблице. Кроме того, избыточность этих формул служит для проверки расчетов. При использовании этих уравнений для определения более короткого пути на большом круге необходимо обеспечить, чтобы | λ₁₂| ≤ π (иначе будет найден более длинный путь).
4. Более простая формула

   ${\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}$

   однако это менее точно.₀ ≈ ±​¹⁄₂π.
5. Прямая геодезическая задача, определение положения п₂ данный п₁, α₁,и s₁₂, также можно решить с помощьюформулы решения сферического треугольника, следующее,

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}$

   Решение для путевых точек, приведенное в основном тексте, является более общим, чем это решение, в том смысле, что оно позволяет находить путевые точки на заданных долготах. Кроме того, решение для σ (то есть положение узла) необходимо при нахождении геодезические на эллипсоиде с помощью вспомогательной сферы.
6. Более простая формула

   ${\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}$

   однако это менее точно, когда φ ≈ ±¹⁄₂π
7. Используются следующие: ${\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}$
8. λ₁₂уменьшается до диапазона [-180 °, 180 °] путем добавления или вычитания 360 ° по мере необходимости

Рекомендации

1. Адам Вайнтрит; Томаш Нойман (7 июня 2011 г.). Методы и алгоритмы навигации: морская навигация и безопасность морских перевозок.. CRC Press. С. 139–. ISBN  978-0-415-69114-7.
2. Тодхантер, И. (1871). Сферическая тригонометрия (3-е изд.). Макмиллан. п.26.
3. Маккоу, Г. Т. (1932). «Длинные линии на Земле». Обзор обзора империи. 1 (6): 259–263. Дои:10.1179 / sre.1932.1.6.259.
4. Карни, К. Ф. Ф. (2013). «Алгоритмы геодезических». J. Геодезия. 87 (1): 43–55. Дои:10.1007 / s00190-012-0578-z.

внешняя ссылка

• Большой круг - из MathWorld Описание Великого Круга, рисунки и уравнения. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999 г.
• Картограф Великого Круга Интерактивный инструмент для построения маршрутов по большому кругу.
• Калькулятор Большого Круга начальный курс и расстояние между двумя точками.
• Расстояние по большому кругу Графический инструмент для рисования больших кругов на картах. Также показывает расстояние и азимут в таблице.
• Программа помощи Google для ортодромной навигации