Лемма Гурсаца - Goursats lemma

Не путать с Интегральная лемма Гурса из комплексный анализ.

Лемма Гурса, названный в честь Французский математик Эдуард Гурса, является алгебраический теорема о подгруппы из прямой продукт из двух группы.

В более общем плане об этом можно сказать Сорт Гурса (а следовательно, и в любом Сорт Мальцева ), из которого восстанавливается более общая версия Лемма Цассенхауза о бабочке. В этой форме из теоремы Гурса также следует лемма о змеях.

Группы

Лемму Гурса для групп можно сформулировать следующим образом.

Позволять ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle G'}$ быть группами, и пусть ${\displaystyle H}$ быть подгруппой ${\displaystyle G\times G'}$ так что два прогнозы ${\displaystyle p_{1}:H\rightarrow G}$ и ${\displaystyle p_{2}:H\rightarrow G'}$ находятся сюръективный (т.е. ${\displaystyle H}$ это подпрямой продукт из ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle G'}$). Позволять ${\displaystyle N}$ быть ядром ${\displaystyle p_{2}}$ и ${\displaystyle N'}$ то ядро из ${\displaystyle p_{1}}$. Можно определить ${\displaystyle N}$ как нормальная подгруппа из ${\displaystyle G}$, и ${\displaystyle N'}$ как нормальная подгруппа ${\displaystyle G'}$. Тогда образ ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G/N\times G'/N'}$ это график из изоморфизм ${\displaystyle G/N\approx G'/N'}$.

Непосредственным следствием этого является то, что подпрямое произведение двух групп может быть описано как волокнистый продукт наоборот.

Обратите внимание, что если ${\displaystyle H}$ является любой подгруппа ${\displaystyle G\times G'}$ (прогнозы ${\displaystyle p_{1}:H\rightarrow G}$ и ${\displaystyle p_{2}:H\rightarrow G'}$ необязательно быть сюръективным), то проекции из ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle p_{1}(H)}$ и ${\displaystyle p_{2}(H)}$ находятся сюръективный. Тогда можно применить лемму Гурса к ${\displaystyle H\leq p_{1}(H)\times p_{2}(H)}$.

Чтобы мотивировать доказательство, рассмотрим срез ${\displaystyle S={g}\times G'}$ в ${\displaystyle G\times G'}$, для любого произвольного ${\displaystyle {g}\in G}$. По сюръективности отображения проекции на ${\displaystyle G}$, это имеет нетривиальное пересечение с ${\displaystyle H}$. Тогда по существу это пересечение представляет собой ровно один конкретный смежный класс ${\displaystyle N'}$. Действительно, если бы у нас были отдельные элементы ${\displaystyle (g,a),(g,b)\in S\cap H}$ с ${\displaystyle a\in pN'\subset G'}$ и ${\displaystyle b\in qN'\subset G'}$ , тогда ${\displaystyle H}$ будучи группой, мы получаем это ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in H}$, и поэтому, ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in N'}$. Но это противоречие, так как ${\displaystyle a,b}$ принадлежат различным смежным классам ${\displaystyle N'}$, и поэтому ${\displaystyle ab^{-1}N'\neq N'}$, поэтому элемент ${\displaystyle (e,ab^{-1})\in N'}$ не может принадлежать ядру ${\displaystyle N'}$ карты проекции из ${\displaystyle H}$ к ${\displaystyle G}$. Таким образом, пересечение ${\displaystyle H}$ с каждым "горизонтальным" срезом, изоморфным ${\displaystyle G'\in G\times G'}$ это ровно один конкретный смежный класс ${\displaystyle N'}$ в ${\displaystyle G'}$.По аналогичному аргументу пересечение ${\displaystyle H}$ с каждым "вертикальным" срезом, изоморфным ${\displaystyle G\in G\times G'}$ это ровно один конкретный смежный класс ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle G}$.

Все классы ${\displaystyle G,G'}$ присутствуют в группе ${\displaystyle H}$, и согласно приведенным выше аргументам между ними существует точное соответствие 1: 1. Приведенное ниже доказательство показывает, что отображение является изоморфизмом.

Доказательство

Прежде чем приступить к доказательство, ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N'}$ показаны как нормальные в ${\displaystyle G\times \{e'\}}$ и ${\displaystyle \{e\}\times G'}$, соответственно. Именно в этом смысле ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N'}$ можно определить как нормальный в грамм и ГРАММ', соответственно.

С ${\displaystyle p_{2}}$ это гомоморфизм, его ядро N нормально в ЧАС. Более того, учитывая ${\displaystyle g\in G}$, Существует ${\displaystyle h=(g,g')\in H}$, поскольку ${\displaystyle p_{1}}$ сюръективно. Следовательно, ${\displaystyle p_{1}(N)}$ нормально в грамм, а именно:

${\displaystyle gp_{1}(N)=p_{1}(h)p_{1}(N)=p_{1}(hN)=p_{1}(Nh)=p_{1}(N)g}$.

Следует, что ${\displaystyle N}$ нормально в ${\displaystyle G\times \{e'\}}$ поскольку

${\displaystyle (g,e')N=(g,e')(p_{1}(N)\times \{e'\})=gp_{1}(N)\times \{e'\}=p_{1}(N)g\times \{e'\}=(p_{1}(N)\times \{e'\})(g,e')=N(g,e')}$.

Доказательство того, что ${\displaystyle N'}$ нормально в ${\displaystyle \{e\}\times G'}$ происходит аналогичным образом.

Учитывая идентификацию ${\displaystyle G}$ с ${\displaystyle G\times \{e'\}}$, мы можем написать ${\displaystyle G/N}$ и ${\displaystyle gN}$ вместо ${\displaystyle (G\times \{e'\})/N}$ и ${\displaystyle (g,e')N}$, ${\displaystyle g\in G}$. Аналогично мы можем написать ${\displaystyle G'/N'}$ и ${\displaystyle g'N'}$, ${\displaystyle g'\in G'}$.

Переходим к доказательству. Рассмотрим карту ${\displaystyle H\rightarrow G/N\times G'/N'}$ определяется ${\displaystyle (g,g')\mapsto (gN,g'N')}$. Образ ${\displaystyle H}$ под этой картой ${\displaystyle \{(gN,g'N')|(g,g')\in H\}}$. С ${\displaystyle H\rightarrow G/N}$ сюръективно, это связь график четко определенный функция ${\displaystyle G/N\rightarrow G'/N'}$ при условии ${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N\Rightarrow g_{1}'N'=g_{2}'N'}$ для каждого ${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$, по сути, приложение тест вертикальной линии.

С ${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N}$ (точнее, ${\displaystyle (g_{1},e')N=(g_{2},e')N}$), у нас есть ${\displaystyle (g_{2}^{-1}g_{1},e')\in N\subset H}$. Таким образом ${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')=(g_{2},g_{2}')^{-1}(g_{1},g_{1}')(g_{2}^{-1}g_{1},e')^{-1}\in H}$откуда ${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')\in N'}$, то есть, ${\displaystyle g_{1}'N'=g_{2}'N'}$.

Кроме того, для каждого ${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$ у нас есть ${\displaystyle (g_{1}g_{2},g_{1}'g_{2}')\in H}$. Следовательно, эта функция является гомоморфизмом групп.

По симметрии ${\displaystyle \{(g'N',gN)|(g,g')\in H\}}$ является графиком корректно определенного гомоморфизма ${\displaystyle G'/N'\rightarrow G/N}$. Эти два гомоморфизма явно обратны друг другу и, таким образом, действительно являются изоморфизмами.

Сорта гурса

Как следствие теоремы Гурса можно вывести очень общую версию Иордания – Гёльдер –Теорема Шрайера в сортах Гурса.

Рекомендации

• Эдуард Гурса, "Sur les замещений ортогональных и ле регулярных подразделений де l'espace", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (1889), том: 6, страницы 9–102
• Я. Ламбек (1996). «Бабочка и змей». В Альдо Урсини; Пауло Альяно (ред.). Логика и алгебра. CRC Press. С. 161–180. ISBN  978-0-8247-9606-8.
• Кеннет А. Рибет (Осень 1976 г.) "Галуа Действие по пунктам разделения Абелевы многообразия с действительным умножением », Американский журнал математики, Vol. 98, № 3, 751–804.