Лемма Гурсаца - Goursats lemma

Лемма Гурса, названный в честь Французский математик Эдуард Гурса, является алгебраический теорема о подгруппы из прямой продукт из двух группы.

В более общем плане об этом можно сказать Сорт Гурса (а следовательно, и в любом Сорт Мальцева ), из которого восстанавливается более общая версия Лемма Цассенхауза о бабочке. В этой форме из теоремы Гурса также следует лемма о змеях.

Группы

Лемму Гурса для групп можно сформулировать следующим образом.

Позволять , быть группами, и пусть быть подгруппой так что два прогнозы и находятся сюръективный (т.е. это подпрямой продукт из и ). Позволять быть ядром и то ядро из . Можно определить как нормальная подгруппа из , и как нормальная подгруппа . Тогда образ в это график из изоморфизм .

Непосредственным следствием этого является то, что подпрямое произведение двух групп может быть описано как волокнистый продукт наоборот.

Обратите внимание, что если является любой подгруппа (прогнозы и необязательно быть сюръективным), то проекции из на и находятся сюръективный. Тогда можно применить лемму Гурса к .

Чтобы мотивировать доказательство, рассмотрим срез в , для любого произвольного . По сюръективности отображения проекции на , это имеет нетривиальное пересечение с . Тогда по существу это пересечение представляет собой ровно один конкретный смежный класс . Действительно, если бы у нас были отдельные элементы с и , тогда будучи группой, мы получаем это , и поэтому, . Но это противоречие, так как принадлежат различным смежным классам , и поэтому , поэтому элемент не может принадлежать ядру карты проекции из к . Таким образом, пересечение с каждым "горизонтальным" срезом, изоморфным это ровно один конкретный смежный класс в .По аналогичному аргументу пересечение с каждым "вертикальным" срезом, изоморфным это ровно один конкретный смежный класс в .

Все классы присутствуют в группе , и согласно приведенным выше аргументам между ними существует точное соответствие 1: 1. Приведенное ниже доказательство показывает, что отображение является изоморфизмом.

Доказательство

Прежде чем приступить к доказательство, и показаны как нормальные в и , соответственно. Именно в этом смысле и можно определить как нормальный в грамм и ГРАММ', соответственно.

С это гомоморфизм, его ядро N нормально в ЧАС. Более того, учитывая , Существует , поскольку сюръективно. Следовательно, нормально в грамм, а именно:

.

Следует, что нормально в поскольку

.

Доказательство того, что нормально в происходит аналогичным образом.

Учитывая идентификацию с , мы можем написать и вместо и , . Аналогично мы можем написать и , .

Переходим к доказательству. Рассмотрим карту определяется . Образ под этой картой . С сюръективно, это связь график четко определенный функция при условии для каждого , по сути, приложение тест вертикальной линии.

С (точнее, ), у нас есть . Таким образом откуда , то есть, .

Кроме того, для каждого у нас есть . Следовательно, эта функция является гомоморфизмом групп.

По симметрии является графиком корректно определенного гомоморфизма . Эти два гомоморфизма явно обратны друг другу и, таким образом, действительно являются изоморфизмами.

Сорта гурса

Как следствие теоремы Гурса можно вывести очень общую версию Иордания – ГёльдерТеорема Шрайера в сортах Гурса.

Рекомендации

  • Эдуард Гурса, "Sur les замещений ортогональных и ле регулярных подразделений де l'espace", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (1889), том: 6, страницы 9–102
  • Я. Ламбек (1996). «Бабочка и змей». В Альдо Урсини; Пауло Альяно (ред.). Логика и алгебра. CRC Press. С. 161–180. ISBN  978-0-8247-9606-8.
  • Кеннет А. Рибет (Осень 1976 г.) "Галуа Действие по пунктам разделения Абелевы многообразия с действительным умножением », Американский журнал математики, Vol. 98, № 3, 751–804.