Функтор представлен схемой - Functor represented by a scheme

В алгебраической геометрии a функтор, представленный схемой Икс многозначный контравариантный функтор по категории схемы такое, что значение функтора на каждой схеме S есть (с точностью до естественной биекции) множество всех морфизмы ${ displaystyle S to X}$ . Схема Икс тогда говорят представлять функтор и это классифицировать геометрические объекты над S данный F.^[1]

Самый известный пример - это Схема гильберта схемы Икс (над некоторой фиксированной базовой схемой), которая, когда она существует, представляет собой функтор, отправляющий схему S в плоское семейство замкнутых подсхем ${ Displaystyle X раз S}$ .^[2]

В некоторых приложениях может оказаться невозможным найти схему, представляющую данный функтор. Это привело к понятию куча, который не совсем функтор но все же его можно рассматривать как геометрическое пространство. (Схема Гильберта - это схема, а не стек, потому что, очень грубо говоря, теория деформации проще для замкнутых схем.)

Некоторые проблемы с модулями решаются путем предоставления формальные решения (в отличие от полиномиальных алгебраических решений), и в этом случае результирующий функтор представлен формальная схема. Такая формальная схема тогда называется алгебраизируемый если существует другая схема, которая может представлять тот же функтор, с точностью до некоторых изоморфизмов.

Мотивация

Это понятие является аналогом классификация пространства в алгебраическая топология. В алгебраической топологии основной факт состоит в том, что каждый главный грамм-группировать по пространству S является (с точностью до естественных изоморфизмов) обратным вызовом универсального расслоения ${ displaystyle EG to BG}$ по какой-то карте из S к ${ displaystyle BG}$ . Другими словами, чтобы дать принципалу грамм-группировать по пространству S это то же самое, что дать карту (называемую классификационной картой) из пространства S в классификационное пространство ${ displaystyle BG}$ из грамм.

Похожее явление в алгебраической геометрии дается линейная система: дать морфизм от проективного многообразия к проективному пространству - значит (с точностью до базовых локусов) дать линейную систему на проективном многообразии.

Лемма Йонеды говорит, что схема Икс определяет и определяется своими точками.^[3]

Функтор точек

Позволять Икс быть схема. Его функтор точек это функтор

Hom (-,Икс): (Аффинные схемы)^op ⟶ Наборы

отправка аффинной схемы А к набору схемных карт А → Икс.^[4]

Схема определяется с точностью до изоморфизма своим функтором точек. Это более сильная версия Лемма Йонеды, в котором говорится, что Икс определяется отображением Hom (-,Икс): Схемы^op → Наборы.

Наоборот, функтор F: (Аффинные схемы)^op → Наборы является функтором точек некоторой схемы тогда и только тогда, когда F является пучком относительно Топология Зарисского on (Аффинные схемы) и F допускает открытое покрытие аффинными схемами.^[5]

Примеры

Очки как символы

Позволять Икс схема над базовым кольцом B. Если Икс является теоретико-множественной точкой Икс, то поле вычетов из Икс поле вычетов местное кольцо ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ (т.е. фактор по максимальному идеалу). Например, если Икс является аффинной схемой Spec (А) и Икс это главный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ , то поле вычетов Икс это функциональное поле закрытой подсхемы ${ displaystyle operatorname {Spec} (A / { mathfrak {p}})}$ .

Для простоты предположим ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (A)}$ . Тогда включение теоретико-множественной точки Икс в Икс соответствует гомоморфизму колец:

{ Displaystyle от А до К (х)}

(который ${ Displaystyle А к А _ { mathfrak {p}} к К ({ mathfrak {p}})}$ если ${ Displaystyle х = { mathfrak {p}}}$ .)

Очки как разделы

По универсальному свойству волокнистый продукт, каждый р-точка схемы Икс определяет морфизм р-схемы

{ displaystyle operatorname {Spec} (R) to X_ {R} { overset { mathrm {def}} {=}} X times _ { operatorname {Spec} (B)} operatorname {Spec} (Р)}

;

т.е. участок проекции ${ Displaystyle X_ {R} to operatorname {Spec} (R)}$ . Если S это подмножество Икс(р), то пишут ${ Displaystyle | S | подмножество X_ {R}}$ для набора изображений сечений, определяемых элементами в S.^[6]

Спецификация кольца двойных чисел

Позволять ${ displaystyle D = operatorname {Spec} (k [t] / (t ^ {2}))}$ , Спецификация кольцо двойных чисел над полем k и Икс схема над k. Тогда каждый ${ displaystyle D to X}$ составляет касательный вектор к Икс в точке, которая является изображением замкнутой точки карты.^[1] Другими словами, ${ Displaystyle X (D)}$ набор касательных векторов к Икс.

Универсальный объект

Позволять F - функтор, представленный схемой Икс. При изоморфизме ${ Displaystyle F (X) simeq operatorname {Mor} (X, X)}$ , есть уникальный элемент ${ Displaystyle F (X)}$ что соответствует карте идентичности ${ displaystyle 1_ {X}: от X до X}$ . Он называется универсальным объектом или универсальным семейством (когда классифицируемые объекты являются семействами).^[1]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c Шафаревич, Гл. VI § 4.1.
^ Шафаревич, Гл. VI § 4.4.
^ Фактически, Икс определяется его р-очки с различными кольцами р: в точных терминах по приведенным схемам Икс, Y, любое естественное преобразование из функтора ${ Displaystyle R mapsto X (R)}$ к функтору ${ Displaystyle R mapsto Y (R)}$ определяет морфизм схем Икс →Y естественным образом.
^ Проект "Стеки", 01J5
^ Функтор точек, лемма Йонеды, пространства модулей и универсальные свойства (Брайан Оссерман), Cor. 3,6
^ Это похоже на стандартные обозначения; см. например http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIX-NPD.pdf

внешняя ссылка

http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf

Этот алгебраическая геометрия статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[Schemes_and_functors-1] а ^б ^c Шафаревич, Гл. VI § 4.1.

[2] Шафаревич, Гл. VI § 4.4.

[3] Фактически, Икс определяется его р-очки с различными кольцами р: в точных терминах по приведенным схемам Икс, Y, любое естественное преобразование из функтора ${ Displaystyle R mapsto X (R)}$ к функтору ${ Displaystyle R mapsto Y (R)}$ определяет морфизм схем Икс →Y естественным образом.

[4] Проект "Стеки", 01J5

[5] Функтор точек, лемма Йонеды, пространства модулей и универсальные свойства (Брайан Оссерман), Cor. 3,6

[6] Это похоже на стандартные обозначения; см. например http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIX-NPD.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]