Формальная схема - Formal scheme

В математика особенно в алгебраическая геометрия, а формальная схема это тип пространства, которое включает данные о его окружении. В отличие от обычного схема, формальная схема включает бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают в сторону от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформации. Но это понятие также используется для доказательства такой теоремы, как теорема о формальных функциях, который используется для вывода интересующих теорем для обычных схем.

Локально нётерова схема - это локально нётерова формальная схема каноническим образом: формальное завершение по самой себе. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Формальные схемы были мотивированы теорией Зарисского и обобщают ее. формальные голоморфные функции.

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальная алгебраическая геометрия.

Определение

Формальные схемы обычно определяются только в Нётерян дело. Хотя существует несколько определений нётеровых формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нётеровы формальные схемы.

Предполагается, что все кольца коммутативный и с единица измерения. Позволять А быть (нетерианцем) топологическое кольцо, то есть кольцо А который является топологическое пространство такие, что операции сложения и умножения непрерывны. А является линейно топологизированный если ноль имеет основание состоящий из идеалы. An идеал определения ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ для линейно топологизированного кольца - такой открытый идеал, что для любой открытой окрестности V 0 существует натуральное число п такой, что ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$. Линейно топологизированное кольцо - это допустимый если он допускает идеал определения, и это допустимый если это также полный. (В терминологии Бурбаки, это «полный и отдельный».)

Предположить, что А допустимо, и пусть ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ быть идеалом определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$. Множество открытых простых идеалов А, или, что то же самое, множество простых идеалов ${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$, является основным топологическим пространством формальный спектр из А, обозначаемый Spf А. Spf А имеет структурный пучок, который определяется с помощью структурного пучка спектр кольца. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda }}$ - базис окрестностей нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры ${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ имеют то же основное топологическое пространство, но другой структурный пучок. Структурный пучок Spf А это проективный предел ${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$.

Можно показать, что если ж ∈ А и D_ж - это множество всех открытых простых идеалов А не содержащий ж, тогда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$, куда ${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$ завершение локализация А_ж.

Наконец, локально нетерова формальная схема топологически окольцованное пространство ${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ (это окольцованное пространство пучок колец которого является пучком топологических колец) таких, что каждая точка ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца.

Морфизмы между формальными схемами

Морфизм ${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$ локально нётеровых формальных схем является их морфизмом в виде локально окольцованных пространств, для которых индуцированное отображение ${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U.

ж как говорят адик или же ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ это ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$-адическая формальная схема если существует идеал определения ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ такой, что ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ идеал определения для ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$. Если ж адический, то это свойство выполняется для любого идеала определения.

Примеры

Для любого идеала я и кольцо А мы можем определить I-адическая топология на А, определяемый своим базисом, состоящим из множеств вида а + я^п. Это допустимо и допустимо, если А является я-адически полный. В этом случае Spf A топологическое пространство Spec A / I со связкой колец ${\displaystyle {\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$ вместо ${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$.

1. A = k [[t]] и I = (t). потом A / I = k так что пространство Spf A единственная точка (т) на котором его структурный пучок принимает значение k [[t]]. Сравните это с Spec A / I, структурный пучок которого принимает значение k на данный момент: это пример идеи, что Spf A это «формальное сгущение» А о я.
2. Формальное завершение закрытой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему Икс аффинной плоскости над k, определяемый идеалом I = (y²-Икс³). Обратите внимание, что А₀= k [x, y] не является я-адически полная; записывать А для своего я-адическое завершение. В этом случае, Spf A = X как пространства и его структурный пучок ${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$. Его глобальные разделы А, в отличие от Икс чьи глобальные разделы A / I.

Смотрите также

• формальная голоморфная функция
• Теория деформации
• Теорема Шлезингера

Рекомендации

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. МИСТЕР  0217083.

внешняя ссылка

• формальное завершение