Индикатор Фробениуса – Шура - Frobenius–Schur indicator

В математика, и особенно дисциплина теория представлений, то Индикатор Шура, названный в честь Иссай Шур, или же Индикатор Фробениуса – Шура описывает, какие инвариантные билинейные формы имеет данное неприводимое представление компактной группы на комплексном векторном пространстве. Его можно использовать для классификации неприводимых представлений компактных групп в вещественных векторных пространствах.

Определение

Если конечномерный непрерывный комплекс представление из компактная группа грамм имеет персонаж χ это Индикатор Фробениуса – Шура определяется как

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu }$

за Мера Хаара μ с μ (грамм) = 1. Когда грамм конечно это дается

${\displaystyle {1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).}$

Если χ неприводимо, то его индикатор Фробениуса – Шура равен 1, 0 или -1. Он обеспечивает критерий для принятия решения о том, неприводимое представление из грамм является реальным, сложным или кватернионным в определенном ниже смысле. Большая часть содержимого ниже обсуждает случай конечные группы, но общий компактный случай аналогичен.

Реальные неприводимые представления

Основная статья: Реальное представление

Есть три типа неприводимых вещественных представлений конечной группы в вещественном векторном пространстве V, так как Лемма Шура означает, что кольцо эндоморфизмов коммутация с действием группы является реальной ассоциативной алгебра с делением и по Теорема Фробениуса могут быть изоморфны только действительным числам, комплексным числам или кватернионам.

• Если кольцо - действительные числа, то V⊗C является неприводимым комплексным представлением с индикатором Шура 1, также называемым вещественным представлением.
• Если кольцо - комплексные числа, то V имеет две разные сопряженные комплексные структуры, дающие два неприводимых комплексных представления с индикатором Шура 0, иногда называемые сложные представления.
• Если кольцо кватернионы, то выбор подкольца кватернионов, изоморфных комплексным числам, дает V в неприводимое комплексное представление грамм с индикатором Шура −1, называемый кватернионное представление.

Более того, каждое неприводимое представление в комплексном векторном пространстве может быть построено из уникального неприводимого представления в реальном векторном пространстве одним из трех способов, описанных выше. Таким образом, знание неприводимых представлений на комплексных пространствах и их индикаторов Шура позволяет считывать неприводимые представления на реальных пространствах.

Реальные представления могут быть усложненный Чтобы получить сложное представление одного и того же измерения, и сложные представления можно преобразовать в реальное представление вдвое большего измерения, рассматривая реальную и мнимую составляющие по отдельности. Кроме того, поскольку все конечномерные комплексные представления могут быть превращены в унитарное представительство, для унитарных представлений двойное представительство также является (комплексным) сопряженным представлением, поскольку норма гильбертова пространства дает антилинейный биективный отображение из представления в его двойственное представление.

Самодуальное комплексное неприводимое представление соответствует либо действительному неприводимому представлению той же размерности, либо действительным неприводимым представлениям удвоенной размерности, называемым кватернионные представления (но не оба сразу) и несамодуальное комплексное неприводимое представление соответствуют действительному неприводимому представлению удвоенной размерности. Обратите внимание, что для последнего случая и комплексное неприводимое представление, и двойственное к нему порождают одно и то же действительное неприводимое представление. Примером кватернионного представления могло бы быть четырехмерное действительное неприводимое представление группа кватернионов Q₈.

Определение в терминах симметричного и переменного квадрата

Смотрите также: Симметричные и чередующиеся квадраты

Если V базовое векторное пространство представления группы грамм, то представление тензорного произведения ${\displaystyle V\otimes V}$ можно разложить как прямую сумму двух субпредставления, то симметричный квадрат, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$ или же ${\displaystyle V\otimes _{S}V}$ и переменный квадрат, обозначенный ${\displaystyle \wedge ^{2}V}$ или же ${\displaystyle V\otimes _{A}V}$.^[1] В терминах этих квадратных представлений индикатор имеет следующее альтернативное определение:

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Sym} ^{2}(V)\\-1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Alt} ^{2}(V)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle W_{\text{triv}}}$- тривиальное представление.

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что термин ${\displaystyle \chi (g^{2})}$естественно возникает в персонажах этих представлений; а именно, у нас есть

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=\chi _{V}(g)^{2}-2\chi _{\wedge ^{2}V}(g)}$

и

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=2\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)-\chi _{V}(g)^{2}}$.^[2]

Подставляя любую из этих формул, индикатор Фробениуса – Шура принимает структуру естественный грамм-инвариантный внутренний продукт на функции класса:

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}\rangle =1\\-1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}\rangle =1\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

Внутреннее произведение подсчитывает кратности прямые слагаемые; тогда немедленно следует эквивалентность определений.

Приложения

Позволять V неприводимое комплексное представление группы грамм (или, что то же самое, неприводимое ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$-модуль, куда ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ обозначает групповое кольцо ). потом

1. Существует ненулевое грамм-инвариантный билинейная форма на V если и только если ${\displaystyle \iota \chi \neq 0}$
2. Существует ненулевое грамм-инвариантный симметричный билинейная форма на V если и только если ${\displaystyle \iota \chi =1}$
3. Существует ненулевое грамм-инвариантный кососимметричный билинейная форма на V если и только если ${\displaystyle \iota \chi =-1}$.^[3]

Вышесказанное является следствием универсальные свойства из симметрическая алгебра и внешняя алгебра, которые являются основными векторными пространствами симметричного и переменного квадрата.

Кроме того,

1. ${\displaystyle \iota \chi =0}$ если и только если ${\displaystyle \chi }$ не является действительным знаком (это комплексные представления),
2. ${\displaystyle \iota \chi =1}$ если и только если ${\displaystyle \chi }$ может быть реализовано ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (это реальные представления), и
3. ${\displaystyle \iota \chi =-1}$ если и только если ${\displaystyle \chi }$ реально, но не может быть реализовано ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (это кватернионные представления).^[4]

Более высокие показатели Фробениуса-Шура

Как и для любого комплексного представления ρ,

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g)}$

является сплетением, для любого целого числа п,

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g^{n})}$

также самоспутник. По лемме Шура это будет кратное единице для неприводимых представлений. След этого сплетения называется n^th Индикатор Фробениуса-Шура.

Исходный случай индикатора Фробениуса – Шура таков, что для п = 2. Нулевой индикатор - это размерность неприводимого представления, первым индикатором будет 1 для тривиального представления и ноль для других неприводимых представлений.

Он напоминает Инварианты Казимира за Алгебра Ли неприводимые представления. Фактически, поскольку любое представление группы G можно рассматривать как модуль за C[грамм] и наоборот, мы можем посмотреть на центр из C[грамм]. Это аналогично тому, как смотреть в центр универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Несложно проверить, что

${\displaystyle \sum _{g\in G}g^{n}}$

принадлежит к центру C[грамм], которое является просто подпространством функций классов на грамм.

Рекомендации

• Математический портал

1. Серр 1977, стр.9.
2. Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Axler, S .; Геринг, Ф. В .; Рибет, К. (ред.). Теория представлений: первый курс. Тексты для выпускников Springer по математике 129. Нью-Йорк: Springer. стр.13. ISBN  3-540-97527-6.
3. Джеймс 2001, стр. 274, теорема 23.16.
4. Джеймс 2001, стр. 277, следствие 23.17.

• Г. Фробениус и И. Шур, Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (1906), Frobenius Gesammelte Abhandlungen, том III, 354–377.
• Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп.. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90190-6. OCLC  2202385.
• Джеймс, Гордон Дуглас (2001). Представления и персонажи групп. Либек, Мартин В.. (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр.272 –278. ISBN  052100392X. OCLC  52220683.