Условия Фрица Джона - Fritz John conditions

В Условия Фрица Джона (сокр. Условия FJ), в математика, площадь необходимое условие для решения в нелинейное программирование быть оптимальный.^[1] Они используются как лемма при доказательстве Условия Каруша – Куна – Таккера., но они актуальны сами по себе.

Мы рассматриваем следующие проблема оптимизации:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{minimize }}&f(x)\,\\{\text{subject to: }}&g_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\\&h_{j}(x)=0,\ j\in \left\{m+1,\dots ,n\right\}\end{aligned}}}$

куда ƒ это функция быть минимизированным, ${\displaystyle g_{i}}$ неравенство ограничения и ${\displaystyle h_{j}}$ ограничения равенства, и где, соответственно, ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {I'}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ являются индексы наборы неактивных, активных и ограничений равенства и ${\displaystyle x^{*}}$ оптимальное решение ${\displaystyle f}$, то существует ненулевой вектор ${\displaystyle \lambda =[\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}]}$ такой, что:

${\displaystyle {\begin{cases}\lambda _{0}\nabla f(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {I}}'}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {E}}}\lambda _{i}\nabla h_{i}(x^{*})=0\\[10pt]\lambda _{i}\geq 0,\ i\in {\mathcal {I}}'\cup \{0\}\\[10pt]\exists i\in \left(\{0,1,\ldots ,n\}\backslash {\mathcal {I}}\right)\left(\lambda _{i}\neq 0\right)\end{cases}}}$

${\displaystyle \lambda _{0}>0}$ если то ${\displaystyle \nabla g_{i}(i\in {\mathcal {I}}')}$ и ${\displaystyle \nabla h_{i}(i\in {\mathcal {E}})}$ находятся линейно независимый или, в более общем смысле, когда ограничение квалификации держит.

Названный в честь Фриц Джон, эти условия эквивалентны Условия Каруша – Куна – Таккера. в случае ${\displaystyle \lambda _{0}>0}$. Когда ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$, условие эквивалентно нарушению Квалификация ограничения Мангасаряна – Фромовица (MFCQ). Другими словами, условие Фрица Джона эквивалентно условию оптимальности KKT или не-MFCQ.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

1. Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.90–112. ISBN  0-521-31498-4.

дальнейшее чтение

• Рау, Николай (1981). «Множители Лагранжа». Матрицы и математическое программирование. Лондон: Макмиллан. С. 156–174. ISBN  0-333-27768-6.