Аксиома симметрии фрейлингса - Freilings axiom of symmetry

Аксиома симметрии Фрейлинга (${\displaystyle {\texttt {AX}}}$) это теоретико-множественный аксиома, предложенная Крис Фрейлинг. Он основан на интуиции Стюарта Дэвидсона, но математика, лежащая в его основе, восходит к Вацлав Серпинский.

Позволять ${\displaystyle A\subseteq \wp ([0,1])^{[0,1]}}$ обозначим множество всех функций из ${\displaystyle [0,1]}$ счетным подмножествам ${\displaystyle [0,1]}$. Аксиома ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$ состояния:

Для каждого ${\displaystyle f\in A}$, существуют ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ такой, что ${\displaystyle x\not \in f(y)}$ и ${\displaystyle y\not \in f(x)}$.

Теорема Серпинского гласит, что в условиях теории множеств ZFC ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$ эквивалентно отрицанию гипотеза континуума (CH). Теорема Серпинского ответила на вопрос Хьюго Штайнхаус и было доказано задолго до того, как независимость CH была установленаКурт Гёдель и Пол Коэн.

Фрейлинг утверждает, что вероятностная интуиция решительно поддерживает это предположение, в то время как другие не согласны. Существует несколько версий аксиомы, некоторые из которых обсуждаются ниже.

Аргумент Фрейлинга

Исправить функцию ж в А. Мы рассмотрим мысленный эксперимент, который включает бросание двух дротиков с единичным интервалом. Мы не можем физически определить с бесконечной точностью фактические значения чисел. Икс и у которые попали. Точно так же вопрос о том, "у в ж(Икс) "физически вычислить невозможно. Тем не менее, если ж В самом деле является функция, то этот вопрос имеет смысл и будет иметь однозначный ответ «да» или «нет».

Теперь подожди, пока не появится первый дротик, Икс, брошен, а затем оцените шансы, что второй дротик у будет в ж(Икс). С Икс теперь исправлено, ж(Икс) является фиксированным счетным множеством и имеет Мера Лебега нуль. Таким образом, это мероприятие с Икс фиксированный, имеет нулевую вероятность. Теперь Фрейлинг делает два обобщения:

• Поскольку мы можем с практически уверенностью предсказать, что "у не в ж(Икс) "после того, как был брошен первый дротик, и поскольку это предсказание остается верным независимо от того, что делает первый дротик, мы должны иметь возможность сделать это предсказание до того, как будет брошен первый дротик. Это не означает, что у нас все еще есть измеримое событие , скорее, это интуиция о природе предсказуемости.
• С "у не в ж(Икс) "предсказуемо верно, по симметрии порядка, в котором были брошены дротики (отсюда и название" аксиома симметрии "), мы также должны быть в состоянии предсказать с виртуальной уверенностью, что"Икс не в ж(у)".

Аксиома ${\displaystyle {\texttt {AX}}}$ теперь оправдано на основе принципа, что то, что предсказуемо будет происходить каждый раз, когда будет проводиться этот эксперимент, должно быть по крайней мере возможным. Следовательно, должно существовать два действительных числа Икс, у такой, что Икс не в ж(у) и у не в ж(Икс).

Связь с (обобщенной) гипотезой континуума

Исправить ${\displaystyle \kappa \,}$ бесконечный кардинал (например ${\displaystyle \aleph _{0}\,}$). Позволять ${\displaystyle {\texttt {AX}}_{\kappa }.\,}$ быть заявлением: нет карты ${\displaystyle f:\wp (\kappa )\to \wp (\wp (\kappa ))\,}$ от наборов до наборов размеров ${\displaystyle \leq \kappa }$ для которого ${\displaystyle (\forall {x,y\in \wp (\kappa )})\,}$ либо ${\displaystyle x\in f(y)\,}$ или же ${\displaystyle y\in f(x)\,}$.

Требовать: ${\displaystyle {\texttt {ZFC}}\vdash 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }.\,}$.

Доказательство:Часть I (${\displaystyle \Rightarrow \,}$):

Предполагать ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,}$. Тогда существует биекция ${\displaystyle \sigma :\kappa ^{+}\to \wp (\kappa )\,}$. Параметр ${\displaystyle f:\wp (\kappa )\to \wp (\wp (\kappa ))\,}$ определяется через ${\displaystyle \sigma (\alpha )\mapsto \{\sigma (\beta ):\beta \preceq \alpha \}\,}$, легко видеть, что это демонстрирует несостоятельность аксиомы Фрейлинга.

Часть II (${\displaystyle \Leftarrow \,}$):

Предположим, что аксиома Фрейлинга неверна. Тогда исправьте некоторые ${\displaystyle f\,}$ чтобы проверить этот факт. Определите отношение порядка на ${\displaystyle \wp (\kappa )\,}$ к ${\displaystyle A\leq _{f}B}$ если только ${\displaystyle A\in f(B)}$. Это отношение полное, и каждая точка имеет ${\displaystyle \leq \kappa }$ много предшественников. Определите теперь строго возрастающую цепочку ${\displaystyle (A_{\alpha }\in \wp (\kappa ))_{\alpha <\kappa ^{+}}}$ следующим образом: на каждом этапе выбираем ${\displaystyle A_{\alpha }\in \wp (\kappa )\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })}$. Этот процесс можно выполнить, поскольку для каждого порядкового номера ${\displaystyle \alpha <\kappa ^{+}\,}$, ${\displaystyle \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })\,}$ это союз ${\displaystyle \leq \kappa \,}$ много наборов размеров ${\displaystyle \leq \kappa \,}$; таким образом имеет размер ${\displaystyle \leq \kappa <2^{\kappa }\,}$ и это строгое подмножество ${\displaystyle \wp (\kappa )\,}$. У нас также есть, что эта последовательность финальный в указанном порядке, т.е. каждый член ${\displaystyle \wp (\kappa )\,}$ является ${\displaystyle \leq _{f}\,}$ немного ${\displaystyle A_{\alpha }\,}$. (В противном случае, если ${\displaystyle B\in \wp (\kappa )\,}$ не является ${\displaystyle \leq _{f}\,}$ немного ${\displaystyle A_{\alpha }}$, то поскольку заказ полный ${\displaystyle (\forall {\alpha <\kappa ^{+}})A_{\alpha }\leq _{f}B\,}$; подразумевая ${\displaystyle B\,}$ имеет ${\displaystyle \geq \kappa ^{+}>\kappa \,}$ много предшественников; противоречие.) Таким образом, мы можем определить отображение ${\displaystyle g:\wp (\kappa )\to \kappa ^{+}\,}$ к ${\displaystyle B\mapsto \operatorname {min} \{\alpha <\kappa ^{+}:B\in f(A_{\alpha })\}}$.Так ${\displaystyle \wp (\kappa )=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}g^{-1}\{\alpha \}=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}f(A_{\alpha })\,}$ который является союзом ${\displaystyle \kappa ^{+}\,}$ много наборов каждого размера ${\displaystyle \leq \kappa \,}$. Следовательно ${\displaystyle 2^{\kappa }\leq \kappa ^{+}\cdot \kappa =\kappa ^{+}\,}$ и мы закончили.

${\displaystyle \blacksquare }$ (Требовать)

Обратите внимание, что ${\displaystyle |[0,1]|=|\wp (\aleph _{0})|\,}$ так что мы можем легко переставить вещи, чтобы получить ${\displaystyle \neg {\texttt {CH}}\Leftrightarrow \,}$ вышеупомянутая форма аксиомы Фрейлинга.

Сказанное выше можно уточнить: ${\displaystyle {\texttt {ZF}}\vdash ({\texttt {AC}}_{\wp (\kappa )}+\neg {\texttt {AX}}_{\kappa })\leftrightarrow {\texttt {CH}}_{\kappa }\,}$. Это показывает (вместе с тем фактом, что гипотеза континуума не зависит от выбора) точный способ, которым (обобщенная) гипотеза континуума является расширением аксиомы выбора.

Возражения против аргумента Фрейлинга

Аргумент Фрейлинга не получил широкого признания из-за следующих двух проблем с ним (о которых Фрейлинг хорошо знал и обсуждал в своей статье).

• Наивная вероятностная интуиция, использованная Фрейлингом молчаливо предполагает что существует правильный способ связать вероятность с любым подмножеством действительных чисел. Но математическая формализация понятия вероятность использует понятие мера, однако выбранная аксиома подразумевает существование неизмеримых подмножеств даже единичного интервала. Некоторыми примерами этого являются Парадокс Банаха – Тарского и существование Виталий наборы.
• Небольшая вариация его аргумента приводит к противоречию с аксиомой выбора, принимает ли кто-то гипотезу континуума или нет, если заменять счетную аддитивность вероятности аддитивностью для кардиналов, меньших континуума. (Фрейлинг использовал аналогичный аргумент, чтобы утверждать, что Аксиома мартина ложно.) Непонятно, почему интуиция Фрейлинга должна быть менее применима в этом случае, если она вообще применима. (Мэдди 1988, п. 500) .Так что аргумент Фрейлинга кажется скорее аргументом против возможности правильного упорядочивания вещественных чисел, чем против гипотезы континуума.

Связь с теорией графов

Используя тот факт, что в ZFC мы имеем ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\Leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }\,}$ (видеть над ), нетрудно заметить, что отказ аксиомы симметрии - и, следовательно, успех ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,}$ - эквивалентен следующему комбинаторному принципу для графов:

• В полный график на ${\displaystyle \wp (\kappa )\,}$ может быть направлен так, чтобы каждый узел приводил не более чем к ${\displaystyle \kappa \,}$-много узлов.

В случае ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}\,}$, это означает:

• Полный граф на единичной окружности может быть направлен так, что каждый узел ведет к не более чем счетному числу узлов.

Таким образом, в контексте ZFC несостоятельность аксиомы Фрейлинга эквивалентна существованию определенного вида функции выбора.

Рекомендации

• Фрейлинг, Крис (1986), «Аксиомы симметрии: метание дротиков в линию действительного числа», Журнал символической логики, 51 (1): 190–200, Дои:10.2307/2273955, ISSN  0022-4812, МИСТЕР  0830085
• Мэдди, Пенелопа (1988). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики. 53 (2): 481–511. Дои:10.2307/2274520.
• Дэвид Мамфорд, «Рассвет эпохи стохастичности», в Математика: границы и перспективы 2000, Американское математическое общество, 1999, 197–218.
• Серпинский, Вацлав (1956) [1934], Hypothèse ducontin, Chelsea Publishing Company, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, МИСТЕР  0090558
• Джон Симмс, «Традиционные принципы Кавальери применительно к современному понятию площади», J. Философская логика 18 (1989), 275–314.