Freiheitssatz - Freiheitssatz

В математика, то Freiheitssatz (Немецкий: "теорема свободы / независимости": Freiheit + Satz ) является результатом теория презентации из группы, утверждая, что некоторые подгруппы группы с одним соотношением бесплатные группы.

Заявление

Рассмотрим групповую презентацию

данный п генераторы Икся и один циклически сокращается родственник р. Если Икс1 появляется в р, то (согласно freiheitssatz) подгруппа из грамм создано Икс2, ..., Иксп это свободная группа, свободно генерируется Икс2, ..., Иксп. Другими словами, единственные отношения с участием Икс2, ..., Иксп являются тривиальными.

История

Результат был предложен Немецкий математик Макс Ден и доказал его ученик, Вильгельм Магнус, в докторской диссертации.[1] Хотя Ден ожидал, что Магнус найдет топологический доказательство,[2] Вместо этого Магнус нашел доказательство, основанное на математическая индукция[3] и амальгамированные продукты групп.[4] Различные доказательства, основанные на индукции, были даны позже Линдон (1972) и Вайнбаум (1972).[3][5][6]

Значимость

Freiheitssatz стал «краеугольным камнем теории групп с одним соотношением» и мотивировал развитие теории амальгамированные продукты. Он также дает аналог в некоммутативной теории групп некоторых результатов о векторные пространства и другие коммутативные группы.[4]

Рекомендации

  1. ^ Магнус, Вильгельм (1930). "Über diskontinuierliche Gruppen mit einer Definierenden Relation. (Der Freiheitssatz)". J. Reine Angew. Математика. 163: 141–165.
  2. ^ Стиллвелл, Джон (1999). «Макс Ден». В Джеймс, И. М. (ред.). История топологии. Северная Голландия, Амстердам. С. 965–978. ISBN  0-444-82375-1. МИСТЕР  1674906. См. В частности п. 973.
  3. ^ а б Линдон, Роджер С.; Шупп, Пол Э. (2001). Комбинаторная теория групп. Классика по математике. Шпрингер-Верлаг, Берлин. п. 152. ISBN  3-540-41158-5. МИСТЕР  1812024.
  4. ^ а б В.А. Романьков (2001) [1994], "Freiheitssatz", Энциклопедия математики, EMS Press
  5. ^ Линдон, Роджер С. (1972). «О Freiheitssatz». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 5: 95–101. Дои:10.1112 / jlms / s2-5.1.95. МИСТЕР  0294465.CS1 maint: ref = harv (связь)
  6. ^ Вайнбаум, К. М. (1972). «О соотношениях и диаграммах для групп с одним определяющим отношением». Иллинойсский журнал математики. 16: 308–322. МИСТЕР  0297849.CS1 maint: ref = harv (связь)