Константы подбрасывания монет вальщиков - Fellers coin-tossing constants

Константы подбрасывания монеты Феллера представляют собой набор числовых констант, описывающих асимптотический вероятности что в п самостоятельные подбрасывания честная монета, нет пробега k появляются следующие друг за другом орлы (или решки).

Уильям Феллер показал^[1] что если эта вероятность записана как п(п,k) тогда

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }p(n,k)\alpha _{k}^{n+1}=\beta _{k}}$

где α_k наименьший положительный действительный корень из

${\displaystyle x^{k+1}=2^{k+1}(x-1)}$

и

${\displaystyle \beta _{k}={2-\alpha _{k} \over k+1-k\alpha _{k}}.}$

Значения констант

k	${\displaystyle \alpha _{k}}$	${\displaystyle \beta _{k}}$
1	2	2
2	1.23606797...	1.44721359...
3	1.08737802...	1.23683983...
4	1.03758012...	1.13268577...

За ${\displaystyle k=2}$ константы связаны с Золотое сечение, ${\displaystyle \varphi }$, и Числа Фибоначчи; константы ${\displaystyle {\sqrt {5}}-1=2\varphi -2=2/\varphi }$ и ${\displaystyle 1+1/{\sqrt {5}}}$. Точная вероятность п(n, 2) можно вычислить либо с помощью Числа Фибоначчи, п(п, 2) =${\displaystyle {\tfrac {F_{n+2}}{2^{n}}}}$ или решив прямой отношение повторения приводит к тому же результату. Для более высоких значений ${\displaystyle k}$, константы связаны с обобщения чисел Фибоначчи такие как числа трибоначчи и тетраначчи. Соответствующие точные вероятности могут быть вычислены как п(п, к) =${\displaystyle {\tfrac {F_{n+2}^{(k)}}{2^{n}}}}$. ^[2]

Пример

Если мы подбросим честную монету десять раз, то точная вероятность того, что ни одна пара орлов не выпадет подряд (т. Е. п = 10 и k = 2) является п(10,2) = ${\displaystyle {\tfrac {9}{64}}}$ = 0,140625. Приближение ${\displaystyle p(n,k)\approx \beta _{k}/\alpha _{k}^{n+1}}$ дает 1.44721356 ... × 1.23606797 ...⁻¹¹ = 0.1406263...

Рекомендации

1. Феллер, В. (1968) Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 1 (3-е издание), Wiley. ISBN  0-471-25708-7 Раздел XIII.7
2. Подбрасывание монет в WolframMathWorld

внешняя ссылка

• Константы Стива Финча в Mathsoft