Ожидаемый дефицит - Expected shortfall

Ожидаемый дефицит (ES) это мера риска - концепция, используемая в области измерения финансовых рисков для оценки рыночный риск или же риск кредита портфолио. «Ожидаемый дефицит на уровне q%» - это ожидаемая доходность портфеля в худшем случае. ${\displaystyle q\%}$ случаев. ES - альтернатива стоимость под риском это более чувствительно к форме хвоста распределения потерь.

Ожидаемый дефицит также называется условная стоимость под угрозой (CVaR),^[1] средняя величина риска (AVaR), ожидаемая потеря хвоста (ETL), и суперквантиль.^[2]

ES оценивает риск инвестиций консервативно, ориентируясь на менее прибыльные результаты. Для высоких значений ${\displaystyle q}$ он игнорирует наиболее выгодные, но маловероятные возможности, а для небольших значений ${\displaystyle q}$ он фокусируется на худших потерях. С другой стороны, в отличие от дисконтированный максимальный убыток, даже для более низких значений ${\displaystyle q}$ ожидаемый дефицит не учитывает только самый катастрофический исход. Ценность ${\displaystyle q}$ на практике часто используется 5%.^{[нужна цитата ]}

Ожидаемый дефицит считается более полезной мерой риска, чем VaR, потому что это последовательный, и более того спектральный, мера риска финансового портфеля. Он рассчитывается для заданного квантиль -уровень ${\displaystyle q}$, и определяется как средняя потеря портфолио значение при условии, что убыток происходит на уровне или ниже ${\displaystyle q}$-квантиль.

Формальное определение

Если ${\displaystyle X\in L^{p}({\mathcal {F}})}$ (ан Lp пространство ) - это доходность портфеля в будущем и ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ тогда мы определяем ожидаемый дефицит как

${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }$

куда ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }}$ это стоимость под риском. Это может быть эквивалентно записано как

${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

куда ${\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}}$ это нижний ${\displaystyle \alpha }$-квантиль и ${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$ это индикаторная функция.^[3] Двойственное представление

${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}$ это набор вероятностные меры которые абсолютно непрерывный по физическим меркам ${\displaystyle P}$ такой, что ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$ почти наверняка.^[4] Обратите внимание, что ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ это Производная Радона – Никодима из ${\displaystyle Q}$ относительно ${\displaystyle P}$.

Ожидаемый дефицит можно обобщить на общий класс согласованных мер по оценке риска на ${\displaystyle L^{p}}$ пробелы (Lp пространство ) с соответствующей двойственной характеризацией в соответствующем ${\displaystyle L^{q}}$ двойное пространство. Домен может быть расширен для более общих Orlicz Hearts.^[5]

Если базовое распределение для ${\displaystyle X}$ является непрерывным распределением, то ожидаемый дефицит эквивалентен хвостовое условное ожидание определяется ${\displaystyle TCE_{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$.^[6]

Неформально и не строго, это уравнение сводится к тому, чтобы сказать: «В случае потерь настолько серьезных, что они происходят только в альфа-процентах случаев, каковы наши средние потери».

Ожидаемый дефицит также можно записать как мера риска искажения предоставленный функция искажения

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^[7][8]

Примеры

Пример 1. Если мы считаем, что наш средний убыток по наихудшим 5% возможных результатов для нашего портфеля составляет 1000 евро, то мы можем сказать, что наш ожидаемый дефицит составляет 1000 евро для 5% хвоста.

Пример 2. Рассмотрим портфель, который будет иметь следующие возможные значения в конце периода:

вероятность	конечное значение
события	портфолио
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

Теперь предположим, что мы заплатили 100 в начале периода за этот портфель. Тогда прибыль в каждом случае будет (конечное значение−100) или:

вероятность
события	выгода
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

Из этой таблицы рассчитаем ожидаемый дефицит ${\displaystyle \operatorname {E} S_{q}}$ для нескольких значений ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle q}$	ожидаемый дефицит ${\displaystyle \operatorname {E} S_{q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46.6
40%	40
50%	32
60%	26.6
80%	20
90%	12.2
100%	6

Чтобы увидеть, как были рассчитаны эти значения, рассмотрим расчет ${\displaystyle \operatorname {E} S_{0.05}}$, ожидание в худшем 5% случаев. Эти случаи принадлежат (являются подмножество из) строка 1 в таблице прибыли, которая имеет прибыль -100 (общий убыток из 100 вложенных). Ожидаемая прибыль для этих случаев - 100.

Теперь рассмотрим расчет ${\displaystyle \operatorname {E} S_{0.20}}$, ожидание в худших 20 случаях из 100. Это следующие случаи: 10 случаев из первой строки и 10 случаев из второй строки (обратите внимание, что 10 + 10 равняются желаемым 20 случаям). Для строки 1 прибыль составляет −100, а для строки 2 - −20. Используя формулу ожидаемого значения, получаем

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}$

Аналогично для любого значения ${\displaystyle q}$. Мы выбираем столько строк, начиная сверху, сколько необходимо, чтобы получить кумулятивную вероятность ${\displaystyle q}$ а затем рассчитайте ожидания по этим случаям. Как правило, последняя выбранная строка может использоваться не полностью (например, при вычислении ${\displaystyle -\operatorname {E} S_{0.20}}$ мы использовали только 10 из 30 случаев на 100, представленных строкой 2).

В качестве последнего примера рассчитаем ${\displaystyle -\operatorname {E} S_{1}}$. Это ожидание во всех случаях, или

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

В стоимость под риском (VaR) приведен ниже для сравнения.

${\displaystyle q}$	${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$
${\displaystyle 0\%\leq q<10\%}$	−100
${\displaystyle 10\%\leq q<40\%}$	−20
${\displaystyle 40\%\leq q<80\%}$	0
${\displaystyle 80\%\leq q\leq 100\%}$	50

Характеристики

Ожидаемый дефицит ${\displaystyle \operatorname {E} S_{q}}$ увеличивается как ${\displaystyle q}$ уменьшается.

100% -ный квантильный ожидаемый дефицит ${\displaystyle \operatorname {E} S_{1.0}}$ равно отрицательному из ожидаемое значение портфолио.

Для данного портфеля ожидаемый дефицит ${\displaystyle \operatorname {E} S_{q}}$ больше или равно стоимости, подверженной риску ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$ в то же ${\displaystyle q}$ уровень.

Оптимизация ожидаемого дефицита

Ожидаемый недостаток в его стандартной форме, как известно, приводит к обычно невыпуклой проблеме оптимизации. Однако можно превратить проблему в линейная программа и найдите глобальное решение.^[9] Это свойство делает ожидаемый дефицит краеугольным камнем альтернативы среднее отклонение оптимизация портфеля, которые учитывают более высокие моменты (например, асимметрию и эксцесс) распределения доходности.

Предположим, мы хотим минимизировать ожидаемый дефицит портфеля. Ключевой вклад Рокафеллара и Урясева в их статье 2000 г. - введение вспомогательной функции ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ на ожидаемый дефицит:

$${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }[\ell (w,x)-\gamma ]p(x)\,dx}$$

Где ${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ и ${\displaystyle \ell (w,x)}$ - функция потерь для набора весов портфеля ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$ применяться к возврату. Рокафеллар / Урясев доказали, что ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ является выпуклый относительно ${\displaystyle \gamma }$ и эквивалентен ожидаемому дефициту в точке минимума. Чтобы численно вычислить ожидаемый дефицит для набора доходностей портфеля, необходимо сгенерировать ${\displaystyle J}$ моделирование составляющих портфеля; это часто делается с помощью связки. С помощью этого моделирования вспомогательная функция может быть аппроксимирована следующим образом:

$${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}$$

Это эквивалентно формулировке:

$${\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma \geq 0}$$

Наконец, выбирая линейную функцию потерь ${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$ превращает задачу оптимизации в линейную программу. Затем, используя стандартные методы, легко найти портфель, который минимизирует ожидаемый дефицит.

Формулы для непрерывных распределений вероятностей

Существуют закрытые формулы для расчета ожидаемого дефицита, когда выплата портфеля ${\displaystyle X}$ или соответствующая потеря ${\displaystyle L=-X}$ следует определенному непрерывному распределению. В первом случае ожидаемый дефицит соответствует противоположному числу левого условного ожидания ниже ${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

Типичные значения ${\textstyle \alpha }$ в данном случае это 5% и 1%.

В инженерных или актуарных приложениях чаще рассматривается распределение убытков. ${\displaystyle L=-X}$, ожидаемый дефицит в этом случае соответствует условному ожиданию правого хвоста выше ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$ и типичные значения ${\displaystyle \alpha }$ 95% и 99%:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

Поскольку некоторые формулы ниже были получены для случая левого хвоста, а некоторые - для случая правого хвоста, следующие согласования могут быть полезны:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

Нормальное распределение

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует нормальное (гауссово) распределение с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$, куда ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ стандартный нормальный п.о.ф., ${\displaystyle \Phi (x)}$ стандартная нормальная к.д.ф., поэтому ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$ - стандартный нормальный квантиль.^[10]

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует нормальному распределению, ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$.^[11]

Обобщенное t-распределение Стьюдента

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует обобщенному Распределение Стьюдента с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$, куда ${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ стандартное t-распределение p.d.f., ${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$ стандартное t-распределение c.d.f., поэтому ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$ - стандартный квантиль t-распределения.^[10]

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента, ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$.^[11]

Распределение Лапласа

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует Распределение Лапласа с п.о.ф.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

и c.d.f.

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$ за ${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$.^[10]

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует распределению Лапласа, ожидаемый дефицит равен

${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}\quad }$^[11]

Логистическая дистрибуция

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует логистическая дистрибуция с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-2}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-1}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$.^[10]

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует логистическая дистрибуция, ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$.^[11]

Экспоненциальное распределение

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует экспоненциальное распределение с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$.^[11]

Распределение Парето

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует Распределение Парето с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$.^[11]

Обобщенное распределение Парето (GPD)

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует GPD с п.о.ф.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}{\Bigl (}1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}{\Bigr )}^{{\bigl (}-{\frac {1}{\xi }}-1{\bigr )}}}$

и c.d.f.

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\Big (}1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}{\Big )}^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp {\bigl (}-{\frac {x-\mu }{s}}{\bigr )}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

тогда ожидаемый дефицит равен

${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\Bigl [}{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}{\Bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

а VaR равен

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}\quad }$^[11]

Распределение Вейбулла

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует Распределение Вейбулла с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}{\Big (}{\frac {x}{\lambda }}{\Big )}^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma {\Big (}1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha ){\Big )}}$, куда ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ это верхняя неполная гамма-функция.^[11]

Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV)

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует GEV с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}{\Bigl (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )}^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp {\Bigl [}-{\Bigl (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )}^{-{\frac {1}{\xi }}}{\Bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}-{\big (}1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{-{\frac {1}{\xi }}}{\Big )}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp {\Big (}-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}{\Big )}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ а VaR равен ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}{\big [}(-\ln \alpha )^{-\xi }-1{\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$, куда ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ это верхняя неполная гамма-функция, ${\displaystyle {\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$ это логарифмическая интегральная функция.^[12]

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует GEV, то ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\big [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\big [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$, куда ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ это нижняя неполная гамма-функция, ${\displaystyle y}$ это Постоянная Эйлера-Маскерони.^[11]

Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS)

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует Распространение GHS с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} ({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan {\Big [}\exp {\Big (}{\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}{\Big ]}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln {\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i{\Big [}{\text{Li}}_{2}{\Big (}-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}-\operatorname {Li} _{2}{\Big (}i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{\Big )}{\Big ]}}$, куда ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$ это Функция Спенса, ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ мнимая единица.^[12]

SU-распределение Джонсона

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует SU-распределение Джонсона с c.d.f. ${\displaystyle F(x)=\Phi {\Big [}\gamma +\delta \sinh ^{-1}{\Big (}{\frac {x-\xi }{\lambda }}{\Big )}{\Big ]}}$ тогда ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}{\Big [}\exp {\Big (}{\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}{\Big )}\Phi {\Big (}\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}{\Big )}-\exp {\Big (}{\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}{\Big )}\Phi {\Big (}\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}{\Big )}{\Big ]}}$, куда ${\displaystyle \Phi }$ это c.d.f. стандартного нормального распределения.^[13]

Распределение заусенцев типа XII

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует за Распределение заусенцев типа XII с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c-1}{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k-1}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)=1-{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k}}$, ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\Big (}(1-\alpha )^{-1/k}-1{\Big )}^{1/c}{\Big [}\alpha -1+{_{2}F_{1}}{\Big (}{\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}{\Big )}{\Big ]}}$, куда ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ это гипергеометрическая функция. В качестве альтернативы, ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}{\Big (}(1-\alpha )^{-1/k}-1{\Big )}^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}{\Big )}}$.^[12]

Распределение Dagum

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует за Распределение Dagum с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{ck-1}{\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{c}{\Big ]}^{-k-1}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\Big [}1+{\Big (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\Big )}^{-c}{\Big ]}^{-k}}$, ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}{\Big (}\alpha ^{-1/k}-1{\Big )}^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}{\Big (}k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}{\Big )}}$, куда ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ это гипергеометрическая функция.^[12]

Логнормальное распределение

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует логнормальное распределение, т.е. случайная величина ${\displaystyle \ln(1+X)}$ следует нормальному распределению с p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$, то ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-\exp {\Bigl (}\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\Bigr )}{\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }}}$, куда ${\displaystyle \Phi (x)}$ стандартная нормальная к.д.ф., поэтому ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$ - стандартный нормальный квантиль.^[14]

Логистическая дистрибуция

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует логистическая дистрибуция, т.е. случайная величина ${\displaystyle \ln(1+X)}$ следует за логистическим распределением с помощью p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr )}^{-2}}$, то ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$, куда ${\displaystyle I_{\alpha }}$ это регуляризованная неполная бета-функция, ${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$.

Поскольку неполная бета-функция определяется только для положительных аргументов, для более общего случая ожидаемый дефицит может быть выражен с помощью гипергеометрическая функция: ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$.^[14]

Если потеря портфеля ${\displaystyle L}$ следует логистическому распределению с p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$ и c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$, то ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}{\Bigl [}{\frac {\pi }{b}}\csc {\Bigl (}{\frac {\pi }{b}}{\Bigr )}-\mathrm {B} _{\alpha }{\Bigl (}{\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$, куда ${\displaystyle B_{\alpha }}$ это неполная бета-функция.^[11]

Распределение лог-Лапласа

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует логарифмическое распределение, т.е. случайная величина ${\displaystyle \ln(1+X)}$ следует распределению Лапласа п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$, то ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}{\big [}(1-\alpha )^{(1-b)}-1{\big ]}&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$.^[14]

Распределение лог-обобщенного гиперболического секанса (log-GHS)

Если доходность портфеля ${\displaystyle X}$ следует распределению log-GHS, т.е. случайная величина ${\displaystyle \ln(1+X)}$ следует Распространение GHS с п.о.ф. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} ({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$, то ожидаемый дефицит равен ${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}{\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}{\Big )}^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan {\big (}{\frac {\pi \alpha }{2}}{\big )}^{2}{\Big )}}$, куда ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ это гипергеометрическая функция.^[14]

Ожидаемый динамический дефицит

В условный версия ожидаемого дефицита в то время т определяется

${\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\}}$.^[15][16]

Это не согласованный во времени мера риска. Согласованная по времени версия дается

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

такой, что

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$^[17]

Смотрите также

• Согласованная мера риска
• EMP для стохастического программирования - технология решения задач оптимизации с участием ES и VaR
• Энтропийная ценность под угрозой
• Ценность под угрозой

Методы статистической оценки VaR и ES можно найти в Embrechts et al.^[18] и Новак.^[19] При прогнозировании VaR и ES или оптимизации портфелей для минимизации хвостового риска важно учитывать асимметричную зависимость и аномалии в распределении доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс.^[20]

Рекомендации

1. Рокафеллар, Р. Тиррелл; Урясев, Станислав (2000). «Оптимизация условной стоимости под риском» (PDF). Журнал рисков. 2 (3): 21–42. Дои:10.21314 / JOR.2000.038.
2. Рокафеллар, Р. Тиррелл; Ройсет, Йоханнес (2010). «О вероятности отказа с буферизацией при проектировании и оптимизации конструкций» (PDF). Техника надежности и системная безопасность. 95 (5): 499–510. Дои:10.1016 / j.ress.2010.01.001.
3. Карло Ачерби; Дирк Таше (2002). «Ожидаемый дефицит: естественная последовательная альтернатива стоимости, подверженной риску» (PDF). Экономические заметки. 31 (2): 379–388. arXiv:cond-mat / 0105191. Дои:10.1111/1468-0300.00091. S2CID  10772757. Получено 25 апреля, 2012.
4. Föllmer, H .; Щид, А. (2008). «Выпуклые и последовательные меры риска» (PDF). Получено 4 октября, 2011.
5. Патрик Черидито; Тяньхуэй Ли (2008). «Двойная характеристика свойств мер риска на сердцах Орлича». Математика и финансовая экономика. 2: 2–29. Дои:10.1007 / s11579-008-0013-7. S2CID  121880657.
6. «Средняя стоимость под риском» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 19 июля 2011 г.. Получено 2 февраля, 2011.
7. Джулия Л. Уирч; Мэри Р. Харди. «Меры риска искажения: когерентность и стохастическое преобладание» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 5 июля 2016 г.. Получено 10 марта, 2012.
8. Balbás, A .; Гарридо, Дж .; Майорал, С. (2008). «Свойства меры риска искажения» (PDF). Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей. 11 (3): 385. Дои:10.1007 / s11009-008-9089-z. HDL:10016/14071. S2CID  53327887.
9. Рокафеллар, Р. Тиррелл; Урясев, Станислав (2000). «Оптимизация условной стоимости под риском» (PDF). Журнал рисков. 2 (3): 21–42. Дои:10.21314 / JOR.2000.038.
10. Хохлов, Валентин (2016). «Условная стоимость под риском для эллиптических распределений». Evropský časopis Ekonomiky a Managementu. 2 (6): 70–79.
11. Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стан (27.11.2018). «Расчет CVaR и bPOE для общих распределений вероятностей с применением для оптимизации портфеля и оценки плотности». arXiv:1811.11301 [q-fin.RM ].
12. Хохлов, Валентин (21.06.2018). «Условная стоимость под риском для необычных распределений». SSRN  3200629.
13. Штукки, Патриция (31.05.2011). "Моментная оценка CVaR: квазизамкнутые формулы". SSRN  1855986.
14. Хохлов, Валентин (17.06.2018). «Условная ценность под риском для лог-распределений». SSRN  3197929.
15. Детлефсен, Кай; Скандоло, Джакомо (2005). «Условные и динамические выпуклые меры риска» (PDF). Финансы Сточ. 9 (4): 539–561. CiteSeerX  10.1.1.453.4944. Дои:10.1007 / s00780-005-0159-6. S2CID  10579202. Получено 11 октября, 2011.^{[мертвая ссылка ]}
16. Acciaio, Беатрис; Пеннер, Ирина (2011). «Динамические выпуклые меры риска» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 2 сентября 2011 г.. Получено 11 октября, 2011.
17. Херидито, Патрик; Куппер, Майкл (май 2010). «Составление временных динамических мер денежно-кредитного риска в дискретном времени» (PDF). Международный журнал теоретических и прикладных финансов. Архивировано из оригинал (PDF) 19 июля 2011 г.. Получено 4 февраля, 2011.
18. Эмбрехтс П., Клуппельберг К., Микош Т. Моделирование экстремальных событий для страхования и финансов. Спрингер (1997).
19. Новак С.Ю. Методы экстремальной стоимости в приложениях к финансам. Чепмен и Холл / CRC Press (2011). ISBN  978-1-4398-3574-6.
20. Low, R.K.Y .; Alcock, J .; Faff, R .; Брейлсфорд, Т. (2013). «Канонические связки виноградной лозы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?» (PDF). Журнал банковского дела и финансов. 37 (8): 3085–3099. Дои:10.1016 / j.jbankfin.2013.02.036. S2CID  154138333.

внешняя ссылка

• Рокафеллар, Урясев: Оптимизация условной стоимости под риском, 2000.
• К. Ачерби и Д. Таше: О согласованности ожидаемого дефицита, 2002.
• Рокафеллар, Урясев: Условная стоимость под риском для общего распределения убытков, 2002.
• Ачерби: Спектральные меры риска, 2005 г.
• Оптимальные портфели Phi-Alpha и экстремальное управление рисками, Best of Wilmott, 2003
• CTAC Антуан