Мера риска искажения - Distortion risk measure

В финансовая математика, а мера риска искажения это тип мера риска что связано с кумулятивная функция распределения из возвращаться из финансовый портфель.

Математическое определение

Функция ${\displaystyle \rho _{g}:L^{p}\to \mathbb {R} }$ связанный с функция искажения ${\displaystyle g:[0,1]\to [0,1]}$ это мера риска искажения если для любого случайная переменная прибыли ${\displaystyle X\in L^{p}}$ (куда ${\displaystyle L^{p}}$ это L^п Космос ) тогда

${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}}(p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx}$

куда ${\displaystyle F_{-X}}$ - кумулятивная функция распределения для ${\displaystyle -X}$ и ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ функция двойного искажения ${\displaystyle {\tilde {g}}(u)=1-g(1-u)}$.^[1]

Если ${\displaystyle X\leq 0}$ почти наверняка тогда ${\displaystyle \rho _{g}}$ дается Интеграл Шоке, т.е. ${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx.}$^[1][2] Эквивалентно, ${\displaystyle \rho _{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[-X]}$^[2] такой, что ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ это вероятностная мера создано ${\displaystyle g}$, т.е. для любого ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ то сигма-алгебра тогда ${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))}$.^[3]

Характеристики

В дополнение к свойствам общих мер риска, меры риска искажения также включают:

1. Закон инвариант: Если распределение ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ такие же тогда ${\displaystyle \rho _{g}(X)=\rho _{g}(Y)}$.
2. Монотонный относительно первого порядка стохастическое доминирование.
   1. Если ${\displaystyle g}$ это вогнутый функция искажения, тогда ${\displaystyle \rho _{g}}$ является монотонным относительно стохастического доминирования второго порядка.
3. ${\displaystyle g}$ это вогнутый функция искажения тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \rho _{g}}$ это согласованная мера риска.^[1][2]

Примеры

• Ценность под угрозой мера риска искажения с соответствующей функцией искажения ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$^[2][3]
• Условная стоимость под угрозой мера риска искажения с соответствующей функцией искажения ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$^[2][3]
• Отрицательный ожидание мера риска искажения с соответствующей функцией искажения ${\displaystyle g(x)=x}$.^[1]

Смотрите также

• Мера риска
• Согласованная мера риска
• Мера риска отклонения
• Мера спектрального риска

Рекомендации

1. Середа, Э. Н .; Бронштейн, Э. М .; Рачев, С. Т .; Fabozzi, F.J .; Sun, W .; Стоянов, С. В. (2010). «Меры риска искажения при оптимизации портфеля». Справочник по построению портфолио. п. 649. CiteSeerX  10.1.1.316.1053. Дои:10.1007/978-0-387-77439-8_25. ISBN  978-0-387-77438-1.
2. Джулия Л. Уирч; Мэри Р. Харди. «Меры риска искажения: когерентность и стохастическое преобладание» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 5 июля 2016 г.. Получено 10 марта, 2012.
3. Balbás, A .; Гарридо, Дж .; Майорал, С. (2008). «Свойства мер риска искажения». Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей. 11 (3): 385. Дои:10.1007 / s11009-008-9089-z. HDL:10016/14071.

• У, Сяньи; Сиань Чжоу (7 апреля 2006 г.). «Новая характеристика премий за искажение через счетную аддитивность для комонотонических рисков». Страхование: математика и экономика. 38 (2): 324–334. Дои:10.1016 / j.insmatheco.2005.09.002.