Эрозия (морфология) - Erosion (morphology)

Для использования в других целях см. Эрозия (значения).

Эрозия темно-синего квадрата диском, в результате чего получился голубой квадрат.

Эрозия (обычно представлен ⊖) - одна из двух основных операций (вторая - расширение ) в морфологическая обработка изображений на котором основаны все остальные морфологические операции. Первоначально он был определен для двоичные изображения, позже расширенный до оттенки серого изображения, а затем полные решетки. Для операции эрозии обычно используется структурирующий элемент для исследования и уменьшения форм, содержащихся во входном изображении.

Бинарная эрозия

В бинарной морфологии изображение рассматривается как подмножество из Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ или целое число сетка ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$, для некоторого измерения d.

Основная идея бинарной морфологии состоит в том, чтобы исследовать изображение с помощью простой заранее заданной формы, делая выводы о том, как эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующий элемент, и сам по себе является двоичным изображением (т. е. подмножеством пространства или сетки).

Позволять E быть евклидовым пространством или целочисленной сеткой, и А двоичное изображение в E. эрозия двоичного изображения А структурирующим элементом B определяется:

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\}}$,

где B_z это перевод B вектором z, т.е. ${\displaystyle B_{z}=\{b+z|b\in B\}}$, ${\displaystyle \forall z\in E}$.

Когда структурирующий элемент B имеет центр (например, диск или квадрат), и этот центр расположен в начале координат E, то эрозия А от B можно понимать как геометрическое место точек, достигаемых центром B когда B движется внутрь А. Например, эрозия квадрата со стороной 10 с центром в начале координат диском с радиусом 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6 с центром в начале координат.

Эрозия А от B также задается выражением: ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$, где А_−b обозначает перевод А от -b.

пример

Предположим, что A - это матрица 13 x 13, а B - матрица 3 x 3:

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладывать происхождение B, если B полностью содержится в A, пиксель сохраняется, иначе удаляется.

Следовательно Эрозия матрицы A на B задается этой матрицей 13 x 13.

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Это означает, что только когда B полностью содержится внутри A значения пикселей сохраняются, в противном случае они удаляются или размываются.

Свойства

• Эрозия инвариант перевода.
• это увеличение, то есть если ${\displaystyle A\subseteq C}$, тогда ${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$.
• Если происхождение E принадлежит к элементу структурирования B, то эрозия антиэкстенсивный, т.е. ${\displaystyle A\ominus B\subseteq A}$.
• Эрозия удовлетворяет ${\displaystyle (A\ominus B)\oplus C=A\ominus (B\oplus C)}$, где ${\displaystyle \oplus }$ обозначает морфологическая дилатация.
• Эрозия распределительный над установить пересечение

Эрозия в оттенках серого

Пример эрозии на изображении в градациях серого с использованием плоского структурирующего элемента 5x5. На верхнем рисунке показано применение окна структурирующего элемента к отдельным пикселям исходного изображения. На нижнем рисунке показано получившееся размытое изображение.

В оттенки серого морфология, изображения функции отображение Евклидово пространство или сетка E в ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это набор реалы, ${\displaystyle \infty }$ является элементом больше любого действительного числа, и ${\displaystyle -\infty }$ это элемент меньше любого действительного числа.

Обозначение изображения f (x) и элемент структурирования оттенков серого б (х), где B - пространство, в котором определяется b (x), эрозия оттенков серого ж от б дан кем-то

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)]}$,

где "inf" обозначает инфимум.

Другими словами, размытие точки - это минимум точек в ее окрестности, причем эта окрестность определяется элементом структурирования. В этом отношении он похож на многие другие фильтры изображений, такие как средний фильтр и фильтр Гаусса.

Эрозии на полных решетках

Полные решетки находятся частично упорядоченные наборы, где каждое подмножество имеет инфимум и супремум. В частности, он содержит наименьший элемент и величайший элемент (также обозначается «вселенная»).

Позволять ${\displaystyle (L,\leq )}$ - полная решетка, нижняя и верхняя грань которой символизируются ${\displaystyle \wedge }$ и ${\displaystyle \vee }$соответственно. Его вселенная и наименьший элемент символизируются U и ${\displaystyle \emptyset }$соответственно. Кроме того, пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ быть набором элементов из L.

Эрозия в ${\displaystyle (L,\leq )}$ любой оператор ${\displaystyle \varepsilon :L\rightarrow L}$ который распределяет по инфимуму и сохраняет вселенную. То есть:

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$.

Смотрите также

• Математическая морфология
• Расширение
• Открытие
• Закрытие

использованная литература

• Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жан Серра, ISBN  0-12-637241-1 (1988)
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдвард Р. Догерти, ISBN  0-8194-0845-X (1992)
• Морфологический анализ изображений; Принципы и применение Пьер Сойль, ISBN  3-540-65671-5 (1999)
• Р. К. Гонсалес и Р. Э. Вудс, Цифровая обработка изображений, 2-е изд. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, 2002.